Образование

Почему линза формирует чёткое изображение, а фасетки нет?

Объяснение, почему собирающая линза даёт резкий фокус даже при некогерентном свете, в отличие от фасеточных глаз. Формула фокусного расстояния, PSF, дифракция и сравнение с фасетками насекомых.

Авторы: НейроАгент

Почему линза может формировать чёткое изображение, в отличие от фасеток (многогранных поверхностей)? Если световые лучи из разных направлений некогерентны, откуда получается неразмытый (резкий) фокус?

Линза может формировать чёткое изображение потому, что собирающая линза геометрически преломляет лучи так, чтобы все лучи, исходящие из одной точки объекта, сходились в одной точке плоскости изображения; это описывается уравнением тонкой линзы 1/f=1/s+1/s′1/f = 1/s + 1/s'. Фасетки (фасеточные глаза) работают иначе: они дают множество отдельных приёмников или большие угловые «окна», поэтому разрешение ограничено угловым шагом омматидиев и приёмной апертурой. Даже при некогерентном свете фокус остаётся резким, потому что фотодетектор (или сетчатка) суммирует интенсивности, а не фазы — изображение определяется свёрткой яркости объекта с точечной функцией рассеяния (PSF), а не стабильными интерференционными максимумами.

Содержание

Почему линза формирует чёткое изображение (собирающая линза, фокусное расстояние)

Линза — оптический элемент, который изменяет направление лучей за счёт преломления. В простейшем (тонком) приближении положение изображения задаётся формулой
1/f=1/s+1/s′1/f = 1/s + 1/s', где ff — фокусное расстояние, ss — расстояние до объекта, s′s' — расстояние до изображения; подробнее см. учебный материал по тонким линзам Тонкие линзы. Построение изображений и обзорный разбор объективов в прикладной оптике на Habr.

Почему это даёт резкость? Потому что линза для каждой точки объекта собирает широкий набор лучей и направляет их в одну (или узкую область) на плоскости изображения. В геометрической оптике фаза волн не нужна — важна лишь направленность лучей: если лучи из одной точки (с разными направлениями) после преломления пересекаются в одной точке, то интенсивность там суммируется и получается локальный максимум яркости. Простая иллюстрация: возьмите увеличительную линзу — она собирает лучи из маленькой точки и даёт локальную световую «точку» на экране. Это и есть формирование изображения.

Почему фасетки (фасеточные глаза) не дают такой чёткости

Фасетка — это маленькая оптическая единица (омматидий) в сложном глазу насекомых. Каждый омматидий собирает свет из ограниченного телесного угла и направляет его на свой фоторецептор. В результате система работает как пространственная выборка: множество «пикселей», каждый с собственной широкой диаграммой направленности. Из этого вытекают два ограничения:

  • угловая плотность омматидиев (интеромматидиальный угол) часто составляет от ~1° до нескольких градусов, поэтому мельчайшие детали просто не «вписываются» в сетку приёмников; см. Фасеточные глаза — Wikipedia;
  • у некоторых типов (оптикосуперпозиционные глаза) сигналы от соседних фасеток накладываются, что повышает чувствительность в сумерках, но снижает пространственную разрешающую способность.

Проще: фасетки дают широкое поле зрения и чувствительность к движению, но теряют в разрешении. Сравнение разрешающей способности линзового и фасеточного глаза доступно в анализе научной статьи The Resolution of Lens and Compound Eyes.

Когерентность света и точечная функция рассеяния (PSF/OTF): откуда берётся резкий фокус при некогерентном свете

Итак, откуда «резкость», если свет некогерентен и фазы между разными лучами случайны? Ключевой момент — детектор (сетчатка, фоточувствительная плёнка, CMOS/CCD) регистрирует интенсивность (энергию), а не электрическое поле с точной фазой. Это меняет правило сложения:

  • при когерентном освещении поля суммируются как комплексные амплитуды, и итоговая интенсивность = |сумма амплитуд|^2; тогда возможны сильные интерференционные картины (максимумы/минимумы);
  • при некогерентном источнике фазы между разными лучами меняются быстро и усредняются, поэтому средняя интенсивность равна сумме интенсивностей вкладов; математически изображение при некогерентном освещении является свёрткой яркости объекта с интенсивностной PSF:

Iimage(r)=Iobject(r)∗∣h(r)∣2,I_{image}(\mathbf{r}) = I_{object}(\mathbf{r}) * |h(\mathbf{r})|^2,

где h(r)h(\mathbf{r}) — амплитудная PSF системы (см. обзор PSF/OTF на Point spread function — Wikipedia).

Это важный результат: даже без стабильной фазы линза формирует характерную точечную функцию (например, Airy-диск для кругового апертурного окна), и яркость в изображении — это просто распределение мощностей, полученных из каждой точечной «испускающей» области объекта. Никаких устойчивых интерференционных полос не возникает, потому что фазы не согласованы во времени.

Ещё один эффект: для многих геометрических и дифракционных задач некогерентный режим даёт более “предсказуемое” и часто лучшее разрешение, чем полностью когерентный режим — подробности и сравнения см. обсуждение на Physics StackExchange. Технически: OTF (optical transfer function) для некогерентного излучения — автокорреляция функции апертуры — даёт более широкий диапазон передаваемых пространственных частот, чем амплитудная передача при когерентном освещении.

Наконец, фундаментальный предел даёт дифракция: даже идеальная линза не даст бесконечно мелкой точки. Угловое разрешение для круговой апертуры приближённо определяет формула

θ≈1.22λD,\theta \approx 1.22 \frac{\lambda}{D},

а радиус пятна на фокусе r≈1.22 λ fDr \approx 1.22\,\lambda\,\frac{f}{D}, где λ\lambda — длина волны, DD — диаметр апертуры, ff — фокусное расстояние. Это и есть минимальный «нерезкий» размер точки — но он определяется дифракцией и апертурой, а не когерентностью света.

Практические лимиты: дифракция, аберрации и апертура

Линза формирует максимально чёткое изображение лишь при выполнении условий: достаточная апертура, коррекция аберраций (сферическая, хроматическая и пр.), правильная фокусировка и адекватная дискретизация (пикселизация сенсора или плотность фоторецепторов). Что ограничивает чёткость на практике?

  • дифракция (Airy-диск) — фундаментальная граница;
  • аберрации объектива — искажения формы PSF при неидеальной оптике (см. обсуждение объективов на Habr);
  • диаметр апертуры и относительное отверстие (f/#) — малый диаметр даёт больше дифракционного размытия;
  • размер сенсора/фоторецептора — если пиковая ширина PSF меньше шага пикселей, разрешение теряется из-за дискретизации;
  • шум и динамический диапазон.

Фасеточные глаза компенсируют слабые апертуры омматидиев за счёт массовой интеграции и большой площади рецепторов, но ценой служит низкое пространственное разрешение. Подробно про сравнительные ограничения — в обзоре The Resolution of Lens and Compound Eyes.

Примеры: камера против фасеточного глаза — что выигрывает и что теряет

Небольшой практический взгляд: фотообъектив с диаметром апертуры 50 мм и фокусным 50 мм при видимом свете может давать разрешение порядка десятков линий на миллиметр на матрице — детали в миллиметровом диапазоне при нормальном расстоянии. У мух и раков шаг омматидиев и их приёмные углы дают разрешение, эквивалентное угловой дискретизации в градусах — это означает, что мелкие детали, которые легко видны через линзу, для них просто «сливаются».

Зато фасеточные глаза выигрывают по полю зрения и времени реакции. Они идеально подходят для обнаружения движения и быстрого реагирования — там не нужна высокая пространственная детализация, важна скорость и чувствительность. Аналогично, в оптике человека или фотоаппарата линза используется, когда нужна детальная съёмка и высокая разрешающая способность.

Источники

Заключение

Коротко: линза формирует чёткое изображение потому, что она собирает лучи от каждой точки объекта в одну область изображения (собирающая линза, фокусное расстояние ff), тогда как фасетки дают пространственную выборку с гораздо большей угловой дискретизацией и/или наложением сигналов. Некогерентный свет не мешает получению резкого фокуса, потому что детектор суммирует интенсивности; изображение при этом описывается свёрткой яркости объекта с интенсивностной PSF, а не устойчивой фазовой интерференцией. Для практической чёткости решающими остаются апертура, дифракция и качество оптики — не сама когерентность источника.

Авторы
НейроАгент
Автор
Проверено модерацией
НейроОтветы
Модерация
Почему линза формирует чёткое изображение, а фасетки нет?