Расчет тока в катушке: полюса, обмотка, формулы

Чтобы правильно расставить полюса и вычислить ток в катушке индуктивности, пометьте направление обмотки (dot‑конвенция), назначьте полярности по выбранным направлениям токов и примените законы Кирхгофа с учётом ЭДС самоиндукции ε = −L·dI/dt. Для синусоидального режима замените L на импеданс $Z_L = j\omega L$ ($X_L=\omega L$) и решите уравнения в фазорной форме; для переходного — решайте дифференциальные уравнения с постоянной времени τ = L/R. В связных катушках учитывайте взаимную индуктивность M: при «аидинг»/«оппозиции» витков эффективная индуктивность меняется по формуле $L_{eq}=L_1+L_2\pm2M$ (знак определяется положением точек/направлением намотки).

---

Содержание

• Как определить полярность и направление обмотки катушки индуктивности
• Правила расстановки полюсов и распределение токов в цепи
• Формулы для расчёта тока в катушке и индуктивного сопротивления
• Пошаговый пример расчёта: две катушки в серии (аидинг/оппозиция)
• Практические замечания и проверка результатов
• Источники
• Заключение

---

Как определить полярность и направление обмотки катушки индуктивности

1. Отметьте направление намотки и поставьте «точки» (dot‑конвенция). Точки в схеме показывают согласованную ориентацию выводов обмотки: если ток входит в помеченный вывод одной катушки, то наведённая ЭДС в другой катушке будет иметь положительную полярность на её помеченном выводе (при одинаковом направлении взаимной связи). Подробно про полярность связанных катушек — Электротехника ТОЭ: Полярность индуктивно связанных катушек.
2. Практическое правило (правило правой руки): сверните пальцы по направлению тока в витках; большой палец укажет сторону, которая будет «северным» полюсом соленоида при таком токе. Это удобно, когда нужно сопоставить магнитную полярность с электрической.
3. Определите базовую полярность для схемы: выберите направления токов в каждой ветви (произвольно, но фиксированно) и пометьте плюсовой/минусовой потенциал на выводах элементов согласно выбранным направлениям (пасивная конвенция). Затем используйте эти пометки при записи уравнений КВЛ/ККЛ.

---

Правила расстановки полюсов и распределение токов в цепи

• Пасивная конвенция: если ток входит в отмеченный «+» вывод элемента, то падение напряжения на элементе v = + (формула элемента). Для индуктивности в временной области при пассивной конвенции v = L·di/dt. При выводе через закон Фарадея индуцированная ЭДС как источник записывается как ε = −L·dI/dt (знак «−» отражает правило Ленца). Сравните определения в справке по индуктивности: Катушка индуктивности — Википедия.
• Распределение токов:
• В последовательном соединении через все элементы течёт один и тот же ток.
• В параллельных ветвях напряжение одинаково, ток делится обратно пропорционально импедансам: для двух ветвей I1 = V / Z1, I2 = V / Z2. Для индуктивных ветвей $Z_k = j\omega L_k$ (при отсутствии активного сопротивления).
• Если катушки связаны между собой (взаимная индуктивность M ≠ 0), то токи и напряжения связаны матричным уравнением (в область частот — в фазорах):

$$\begin{bmatrix}V_1\\V_2\end{bmatrix}=j\omega\begin{bmatrix}L_1 & M\\ M & L_2\end{bmatrix}\begin{bmatrix}I_1\\I_2\end{bmatrix}.$$

Знак M в уравнении учитывает dot‑конвенцию: если токи входят в помеченные выводы обеих катушек, вклад взаимной индукции будет с плюсом; если в один из помеченных выводов, а в другом — из помеченного (напротив), знак будет минус. Подробнее о применении законов Кирхгофа при составлении уравнений — Правила Кирхгофа.

---

Формулы для расчёта тока в катушке и индуктивного сопротивления

Краткая подборка формул, которые вам понадобятся:

• ЭДС самоиндукции (Закон Фарадея / Ленца):

$$\varepsilon = -\dfrac{d\Phi}{dt} = -L\,\dfrac{dI}{dt}.$$

(при использовании пассивной конвенции напр., напряжение на катушке в уравнениях цепи записывают как $v=L\,di/dt$). См. также разъяснение и формулы по индуктивности: asutpp.ru и wikipedia.

• Индуктивное сопротивление (реактивность) и импеданс (в синусоидальном режиме):

$$X_L = \omega L = 2\pi f L,\qquad Z_L = j\omega L.$$

(источник формулы: pue8.ru).

• R‑L цепь (степенной переход при включении постоянного напряжения V при i(0)=0):

$$\tau=\dfrac{L}{R},\qquad i(t)=\dfrac{V}{R}\Big(1-e^{-t/\tau}\Big).$$

• Синусоидальный режим (амплитуды/действующие значения):

$$I_{rms}=\dfrac{V_{rms}}{\sqrt{R^2+(\omega L)^2}},\qquad\varphi=\arctan\frac{\omega L}{R}$$

— ток отстаёт от напряжения на угол φ.

• Энергия магнитного поля:

$$W=\tfrac12L I^2.$$

• Две связанные катушки — эффективная индуктивность при последовательном соединении:

$$L_{eq}=L_1+L_2\pm2M,$$

где знак «+» — при согласованной полярности (aiding), «−» — при противоположной (opposing). Также полезно ввести коэффициент связи:

$$k=\dfrac{M}{\sqrt{L_1L_2}},\quad 0\le k\le1.$$

Эти соотношения широко используются при расчёте трансформаторов и связанных катушек (см. общие сведения на Катушка индуктивности — Википедия).

---

Пошаговый пример расчёта: две катушки в серии (аидинг/оппозиция)

Задача. Даны: L1 = 20 мГн, L2 = 30 мГн, взаимная индуктивность M = 10 мГн, последовательное сопротивление R = 10 Ом, источник синусоидального напряжения Vrms = 100 В на частоте f = 1 кГц. Найти действующее значение тока в цепи для двух вариантов намотки: (A) витки согласованы (aiding), (B) витки противоположны (opposing).

Шаги и расчёт.

1. Перевод единиц:

• L1 = 20·10^−3 H = 0.020 H
• L2 = 30·10^−3 H = 0.030 H
• M = 10·10^−3 H = 0.010 H
• ω = 2πf = 2π·1000 ≈ 6283.1853 рад/с.

2. Эффективная индуктивность для двух случаев:

• A (aiding): L_eq = L1 + L2 + 2M = 0.02 + 0.03 + 0.02 = 0.07 H.
• B (opposing): L_eq = L1 + L2 − 2M = 0.02 + 0.03 − 0.02 = 0.03 H.

3. Индуктивная реактивность:

• A: X_L = ω·L_eq ≈ 6283.1853·0.07 ≈ 439.823 Ω.
• B: X_L = ω·L_eq ≈ 6283.1853·0.03 ≈ 188.496 Ω.

4. Полный импеданс и модуль:

• Z = R + jX_L → |Z| = √(R^2 + X_L^2).
• A: |Z| ≈ √(10^2 + 439.823^2) ≈ 439.937 Ω.
  → I_rms = 100 / 439.937 ≈ 0.2273 A.
  Фаза φ ≈ arctan(439.823/10) ≈ 88.70° (ток отстаёт).
• B: |Z| ≈ √(10^2 + 188.496^2) ≈ 188.771 Ω.
  → I_rms = 100 / 188.771 ≈ 0.5296 A.
  Фаза φ ≈ arctan(188.496/10) ≈ 86.97°.

5. Интерпретация:

• При согласованной полярности (aiding) эффективная индуктивность больше → реактивность выше → ток меньше.
• При противоположной (opposing) L_eq меньше → ток больше. То есть направление намотки (точки) прямо влияет на величину силы тока в катушке в связанной системе.

6. Контроль (энергия): например, энергия магнитного поля при мгновенном пике тока I_peak = √2·I_rms:

• A: I_peak ≈ 0.3215 A → W_peak ≈ 0.5·0.07·0.3215^2 ≈ 3.6·10^−3 Дж.
• B: I_peak ≈ 0.7491 A → W_peak ≈ 0.5·0.03·0.7491^2 ≈ 8.4·10^−3 Дж.
  — энергетическая проверка помогает убедиться в адекватности чисел.

Примечание: если у катушек есть активное сопротивление обмоток (R_L), включайте его в импеданс: Z_L = R_L + jωL. Если катушки соединены не последовательно, а параллельно или в сложной сети с взаимной индуктивностью, составьте систему уравнений по узлам/контурам или в матричной форме (см. уравнение в разделе выше) и решайте методом линейной алгебры (фазоры) или методом дифференциальных уравнений для переходного процесса.

---

Практические замечания и проверка результатов

• Всегда проверяйте маркировку выводов на корпусе катушки (точки, стрелки). Если сомневаетесь, пометьте направления и выполните пробный замер малым током и компасом для определения магнитной полярности.
• Не забывайте единицы: миллигенри → генри, герцы → радианы в формуле ω = 2πf.
• При анализе переходных процессов используйте временную область (L·di/dt), при установившемся синусоидальном режиме — фазоры и $Z_L=j\omega L$ (это упрощает решение). Подробно про индуктивное сопротивление и поведение в переменном токе — pue8.ru и electricalschool.info.
• Если катушки сильно связаны, применяйте матричный подход: величины взаимной индуктивности M и коэффициента связи k критичны; убедитесь, что M ≤ √(L1·L2).
• Проверка простыми предельными случаями помогает отловить ошибки: f→0 (медленная переменная или постоянный ток) — X_L→0, поведение как проводник (в реальности — сопротивление обмотки); f→∞ — X_L→∞, ток стремится к нулю при наличии чистой индуктивности.
• Для сложных схем удобнее переходить на численные методы (симуляторы SPICE, MATLAB) или решать систему линейных уравнений в комплексной форме.

---

Источники

• Электротехника ТОЭ: 8.2. Полярность индуктивно связанных катушек
• Катушка индуктивности — Википедия
• Катушка индуктивности в цепи переменного тока — electricalschool.info
• Правила Кирхгофа или Законы Кирхгофа — partalstalina.ru
• Катушки индуктивности: расчет по формулам — asutpp.ru
• Индуктивность в цепи переменного тока — pue8.ru

---

Заключение

Правильная расстановка полюсов и расчёт тока в катушке сводятся к трём шагам: пометить направление обмотки (dot‑конвенция), назначить полярности по выбранным направлениям токов и составить уравнения (KCL/KVL) с учётом ε = −L·dI/dt (или $Z_L=j\omega L$ в частотной области). При связанных катушках всегда учитывайте взаимную индуктивность M — она меняет эффективную индуктивность по формуле $L_{eq}=L_1+L_2\pm2M$, а значит и силу тока в катушке. Если нужно — протестируйте результат на предельных частотах и по запасу энергии; и не забывайте про единицы и направление намотки при переносе результатов в практическую схему.