Доказательство эквивалентности для квадратных полиномов

Для квадратного полинома f(x) = ax² + bx + c вершина параболы находится в точке C = -b/(2a). Если мы доказали, что для двух чисел, равноудалённых от вершины, их сумма равна 2C, то для установления эквивалентности этих условий действительно необходимо доказать обратное утверждение.

Содержание

• Математический анализ задачи
• Доказательство обратного утверждения
• Логический аспект эквивалентности
• Примеры и иллюстрации
• Выводы

Математический анализ задачи

Квадратный полином можно представить в виде f(x) = a(x - C)² + k, где C - вершина параболы, а k - значение функции в вершине.

Если два числа g(x) и h(x) равноудалены от вершины C, то существуют такие d₁ и d₂, что:

• g(x) = C + d₁
• h(x) = C + d₂

Условие равноудалённости означает |d₁| = |d₂|, откуда следует, что d₂ = ±d₁.

Если d₂ = d₁, то g(x) = h(x). Если d₂ = -d₁, то g(x) = C + d₁, h(x) = C - d₁, и тогда g(x) + h(x) = 2C.

Таким образом, из условия равноудалённости действительно следует, что сумма равна 2C.

---

Доказательство обратного утверждения

Теперь докажем обратное: если g(x) + h(x) = 2C, то g(x) и h(x) равноудалены от вершины C.

Пусть g(x) + h(x) = 2C. Тогда h(x) = 2C - g(x).

Расстояние от g(x) до вершины C: |g(x) - C|

Расстояние от h(x) до вершины C: |h(x) - C| = |2C - g(x) - C| = |C - g(x)| = |g(x) - C|

Следовательно, |g(x) - C| = |h(x) - C|, что означает равноудалённость от вершины.

---

Логический аспект эквивалентности

С точки зрения математической логики, для установления равенства множеств A и B действительно необходимо доказать обе импликации:

• A ⊆ B: Если пара чисел имеет сумму 2C, то она равноудалена от вершины (что мы только что доказали)
• B ⊆ A: Если пара чисел равноудалена от вершины, то её сумма равна 2C (что было доказано ранее)

Таким образом, A = B, и два условия действительно эквивалентны.

Важно: В математике для доказательства эквивалентности P ⇔ Q необходимо доказать обе импликации P ⇒ Q и Q ⇒ P. Доказательство только одной из них не устанавливает полную эквивалентность.

---

Примеры и иллюстрации

Рассмотрим конкретный пример. Пусть f(x) = x² - 4x + 3. Тогда вершина параболы C = 2.

Пример 1: g(x) = 3, h(x) = 1

• Сумма: 3 + 1 = 4 = 2 × 2
• Расстояния от вершины: |3 - 2| = 1, |1 - 2| = 1
• Результат: равенство сумм и равноудалённость

Пример 2: g(x) = 4, h(x) = 0

• Сумма: 4 + 0 = 4 = 2 × 2
• Расстояния от вершины: |4 - 2| = 2, |0 - 2| = 2
• Результат: равенство сумм и равноудалённость

Пример 3: g(x) = 5, h(x) = -1

• Сумма: 5 + (-1) = 4 = 2 × 2
• Расстояния от вершины: |5 - 2| = 3, |-1 - 2| = 3
• Результат: равенство сумм и равноудалённость

Во всех случаях выполняется эквивалентность.

---

Выводы

1. Да, необходимо доказывать обратное утверждение для установления полной эквивалентности условий.

2. Множества A и B действительно равны: A = B, так как для любого полинома эквивалентность “равноудалённость от вершины” и “сумма равна 2C” выполняется.

3. Доказательство обратного утверждения является тривиальным и следует непосредственно из определения расстояния и алгебраических преобразований.

4. В математической логике доказательство эквивалентности требует установления обеих импликаций, а не только одной из них.

5. Для квадратных полиномов симметрия параболы относительно вершины гарантирует, что эти два условия действительно эквивалентны.

Таким образом, хотя обратное утверждение легко доказывается, его формальное доказательство необходимо для строгости математического рассуждения и установления полной эквивалентности рассматриваемых условий.

Источники

1. Алгебраические основы квадратичных функций
2. Свойства параболы и её вершины
3. Математическая логика и эквивалентность утверждений