Формула Муавра: полное руководство по применению

Формула Муавра представляет собой фундаментальное соотношение в комплексном анализе, которое утверждает, что для любого комплексного числа в тригонометрической форме и целого числа n выполняется равенство (cos θ + i sin θ)^n = cos(nθ) + i sin(nθ). Эта формула предоставляет эффективный метод для вычисления степеней комплексных чисел, извлечения корней различных порядков, а также служит мощным инструментом для преобразования тригонометрических выражений и упрощения интегралов в математическом анализе.

Содержание

• Математическое выражение формулы Муавра
• Доказательство формулы Муавра
• Основные применения в комплексных числах
• Использование в тригонометрии
• Практические примеры и расчеты
• Исторический контекст и значение

---

Математическое выражение формулы Муавра

Формула Муавра в своей полной форме выглядит следующим образом:

$$[r(\cos \theta + i \sin \theta)]^n = r^n (\cos n\theta + i \sin n\theta)$$

где:

• $r$ - модуль комплексного числа (длина вектора на комплексной плоскости)
• $\theta$ - аргумент комплексного числа (угол между положительной действительной осью и вектором)
• $n$ - любое целое число (положительное, отрицательное или ноль)
• $i$ - мнимая единица, где $i^2 = -1$

Для случая единичного модуля ($r = 1$) формула принимает более простой вид:

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$$

Этот вариант часто называют теоремой Муавра, так как он позволяет легко вычислять степени комплексных чисел, представленных в тригонометрической форме.

Важно отметить, что формула Муавра тесно связана с формулой Эйлера $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, которая устанавливает фундаментальную связь между тригонометрическими функциями и комплексной показательной функцией [источник: Wikipedia].

---

Доказательство формулы Муавра

Доказательство формулы Муавра можно провести несколькими способами: методом математической индукции, используя формулу Эйлера или через свойства комплексных чисел в полярной форме.

Доказательство методом математической индукции

Базис индукции (n = 1):
Для n = 1 формула тривиально верна:

$$\cos \theta + i \sin \theta = \cos \theta + i \sin \theta$$

Предположение индукции:
Предположим, что формула верна для некоторого k:

$$(\cos \theta + i \sin \theta)^k = \cos k\theta + i \sin k\theta$$

Шаг индукции (n = k + 1):
Докажем, что формула верна для k + 1:

$$\begin{align*} (\cos \theta + i \sin \theta)^{k + 1} &= (\cos \theta + i \sin \theta)^k \cdot (\cos \theta + i \sin \theta)^1 \\ &= (\cos k\theta + i \sin k\theta) \cdot (\cos \theta + i \sin \theta) \\ &= \cos k\theta \cos \theta + \cos k\theta i \sin \theta + i \sin k\theta \cos \theta + i^2 \sin k\theta \sin \theta \\ &= \cos k\theta \cos \theta - \sin k\theta \sin \theta + i (\cos k\theta \sin \theta + \sin k\theta \cos \theta) \\ &= \cos(k\theta + \theta) + i \sin(k\theta + \theta) \\ &= \cos((k + 1)\theta) + i \sin((k + 1)\theta) \end{align*}$$

Таким образом, по принципу математической индукции формула Муавра верна для всех натуральных чисел n [источник: Brilliant Math Wiki].

Доказательство с использованием формулы Эйлера

Используя формулу Эйлера $e^{i\theta} = \cos \theta + i \sin \theta$, можно получить формулу Муавра гораздо проще:

$$\begin{align*} (\cos \theta + i \sin \theta)^n &= (e^{i\theta})^n \\ &= e^{in\theta} \\ &= \cos n\theta + i \sin n\theta \end{align*}$$

Этот метод демонстрирует глубокую связь между тригонометрическими функциями и комплексной экспонентой [источник: Wikipedia].

---

Основные применения в комплексных числах

Формула Муавра находит многочисленные применения в теории комплексных чисел, делая вычисления более эффективными и интуитивно понятными.

Вычисление степеней комплексных чисел

Одним из самых важных применений формулы Муавра является вычисление целых степеней комплексных чисел. Вместо того чтобы выполнять множественные умножения, можно использовать формулу для мгновенного получения результата.

Пример: Вычислим $(1 + i)^8$

1. Сначала представим $1 + i$ в тригонометрической форме:

   • Модуль: $r = \sqrt{1^2 + 1^2} = \sqrt{2}$
   • Аргумент: $\theta = \frac{\pi}{4}$ (так как $\tan \theta = \frac{1}{1} = 1$)

2. $1 + i = \sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)$

3. По формуле Муавра:

   $$\begin{align*} (1 + i)^8 &= \left[\sqrt{2} \left(\cos \frac{\pi}{4} + i \sin \frac{\pi}{4}\right)\right]^8 \\ &= (\sqrt{2})^8 \left(\cos \frac{8\pi}{4} + i \sin \frac{8\pi}{4}\right) \\ &= 2^4 \left(\cos 2\pi + i \sin 2\pi\right) \\ &= 16 (1 + i \cdot 0) \\ &= 16 \end{align*}$$

Извлечение корней комплексных чисел

Формула Муавра также позволяет находить корни любого порядка из комплексных чисел. Для извлечения n-го корня из комплексного числа $z = r(\cos \theta + i \sin \theta)$ используются формулы:

$$\sqrt[n]{z} = \sqrt[n]{r} \left[\cos\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) + i \sin\left(\frac{\theta + 2k\pi}{n}\right)\right]$$

где $k = 0, 1, 2, ..., n-1$.

Такой подход позволяет найти все n различных корней комплексного числа, что невозможно при работе только с действительными числами [источник: Mathematics LibreTexts].

Упрощение операций с комплексными числами

Формула Муавра значительно упрощает операции умножения и деления комплексных чисел в тригонометрической форме:

• Умножение: $z_1 \cdot z_2 = r_1 r_2 [\cos(\theta_1 + \theta_2) + i \sin(\theta_1 + \theta_2)]$
• Деление: $\frac{z_1}{z_2} = \frac{r_1}{r_2} [\cos(\theta_1 - \theta_2) + i \sin(\theta_1 - \theta_2)]$

Эти свойства делают тригонометрическую форму представления комплексных чисел особенно удобной для выполнения этих операций [источник: Cuemath].

---

Использование в тригонометрии

Формула Муавра играет ключевую роль в тригонометрии, позволяя получать формулы для кратных углов и упрощать тригонометрические выражения.

Формулы для кратных углов

Используя формулу Муавра, можно легко получить формулы для синусов и косинусов кратных углов:

• Двойной угол:

  $$\begin{align*} \cos 2\theta &= \cos^2 \theta - \sin^2 \theta \\ \sin 2\theta &= 2 \sin \theta \cos \theta \end{align*}$$

• Тройной угол:

  $$\begin{align*} \cos 3\theta &= 4\cos^3 \theta - 3\cos \theta \\ \sin 3\theta &= 3\sin \theta - 4\sin^3 \theta \end{align*}$$

Эти формулы могут быть получены путем разложения $(\cos \theta + i \sin \theta)^n$ по формуле бинома Ньютона и приравнивания действительных и мнимых частей [источник: Byjus].

Преобразование степеней тригонометрических функций

Формула Муавра позволяет выражать степени синусов и косинусов через функции кратных углов, что очень полезно при интегрировании:

Пример: Выразим $\sin^5 \theta$ через функции кратных углов

Используя формулу Муавра и формулу Эйлера, можно показать, что:

$$\sin^5 \theta = \frac{1}{16} \sin 5\theta - \frac{5}{16} \sin 3\theta + \frac{5}{8} \sin \theta$$

Такие преобразования значительно упрощают интегрирование тригонометрических функций [источник: Nagwa].

Суммирование тригонометрических рядов

Формула Муавра используется для суммирования некоторых типов тригонометрических рядов. Например, можно доказать, что:

$$\sum_{k=0}^{n-1} \sin(k\theta) = \frac{\sin\left(\frac{n\theta}{2}\right) \sin\left(\frac{(n-1)\theta}{2}\right)}{\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)}$$

и аналогичные формулы для косинуса [источник: Unacademy].

---

Практические примеры и расчеты

Рассмотрим несколько практических примеров, демонстрирующих применение формулы Муавра в различных математических контекстах.

Пример 1: Вычисление комплексной степени

Задача: Вычислить $(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6})^{12}$

Решение:
Используя формулу Муавра:

$$\begin{align*} \left(\cos \frac{\pi}{6} + i \sin \frac{\pi}{6}\right)^{12} &= \cos \left(12 \cdot \frac{\pi}{6}\right) + i \sin \left(12 \cdot \frac{\pi}{6}\right) \\ &= \cos 2\pi + i \sin 2\pi \\ &= 1 + i \cdot 0 \\ &= 1 \end{align*}$$

Пример 2: Нахождение квадратного корня

Задача: Найти все квадратные корни из числа $-1$

Решение:

1. Представим $-1$ в тригонометрической форме:

   $$-1 = 1 \cdot (\cos \pi + i \sin \pi)$$

2. Используя формулу для извлечения квадратного корня:

   $$\sqrt{-1} = \sqrt{1} \left[\cos\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right) + i \sin\left(\frac{\pi + 2k\pi}{2}\right)\right]$$

3. Для $k = 0$:

   $$\sqrt{-1} = \cos \frac{\pi}{2} + i \sin \frac{\pi}{2} = 0 + i \cdot 1 = i$$

4. Для $k = 1$:

   $$\sqrt{-1} = \cos \frac{3\pi}{2} + i \sin \frac{3\pi}{2} = 0 + i \cdot (-1) = -i$$

Таким образом, квадратные корни из $-1$ равны $i$ и $-i$.

Пример 3: Тригонометрическое тождество

Задача: Доказать тождество $\cos 4\theta = 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1$

Доказательство:
Используем формулу Муавра $(\cos \theta + i \sin \theta)^4 = \cos 4\theta + i \sin 4\theta$.

Разложим левую часть по формуле бинома Ньютона:

$$\begin{align*} (\cos \theta + i \sin \theta)^4 &= \cos^4 \theta + 4i\cos^3 \theta \sin \theta + 6i^2\cos^2 \theta \sin^2 \theta + 4i^3\cos \theta \sin^3 \theta + i^4\sin^4 \theta \\ &= \cos^4 \theta + 4i\cos^3 \theta \sin \theta - 6\cos^2 \theta \sin^2 \theta - 4i\cos \theta \sin^3 \theta + \sin^4 \theta \end{align*}$$

Приравнивая действительные части, получаем:

$$\cos 4\theta = \cos^4 \theta - 6\cos^2 \theta \sin^2 \theta + \sin^4 \theta$$

Используя $\sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta$:

$$\begin{align*} \cos 4\theta &= \cos^4 \theta - 6\cos^2 \theta (1 - \cos^2 \theta) + (1 - \cos^2 \theta)^2 \\ &= \cos^4 \theta - 6\cos^2 \theta + 6\cos^4 \theta + 1 - 2\cos^2 \theta + \cos^4 \theta \\ &= 8\cos^4 \theta - 8\cos^2 \theta + 1 \end{align*}$$

---

Исторический контекст и значение

Формула Муавра была открыта французским математиком Абрахамом де Муавром (1667-1754) в начале XVIII века. Де Муавр был гугенотом, который бежал из Франции в Англию из-за религиозных преследований и стал близким другом Исаака Ньютона.

Развитие формулы

Первоначально де Муавр обнаружил эту закономерность при работе с комбинаторикой и вероятностями, но вскоре осознал ее фундаментальное значение в теории комплексных чисел. Его работа была опубликована в трактате “Miscellanea Analytica” (1730), хотя более ранние версии формулы встречаются в его работах 1707 года.

Влияние на развитие математики

Формула Муавра сыграла ключевую роль в развитии комплексного анализа и открывала путь к:

• Формуле Эйлера (1748), которая позже обобщила формулу Муавра на любые вещественные показатели
• Развитию теории аналитических функций
• Совершенствованию методов тригонометрии
• Развитию теории колебаний и волн

Современное значение

В современной математике формула Муавра сохраняет свое фундаментальное значение и используется:

• В обработке сигналов для преобразований Фурье
• В теории вероятностей для работы с характеристическими функциями
• В квантовой механике для описания амплитуд вероятности
• В электротехнике для анализа переменных токов

Как отмечают современные исследователи, “от простых вычислений степеней до анализа квантовых волновых функций, теорема имеет широкий спектр приложений” [источник: Number Analytics].

---

Источники

1. De Moivre’s formula - Wikipedia
2. De Moivre’s Theorem | Brilliant Math & Science Wiki
3. A Detailed Overview of the De Moivre’s Theorem - Unacademy
4. De Moivre’s Theorem - Mathematics LibreTexts
5. De Moivre’s Theorem: Formula, Proof, Uses and Examples - Testbook
6. DeMoivre’s Theorem: Definition, Proof, and Examples - GeeksforGeeks
7. What is De Moivre Formula? - Cuemath
8. De Moivre’s Theorem for Trigonometric Identities - Nagwa
9. Mastering de Moivre’s Theorem Proof Journey - Number Analytics
10. De Moivre’s Theorem - Byjus

Заключение

Формула Муавра представляет собой мощный математический инструмент, который объединяет комплексные числа и тригонометрию в единое целое. Ключевые моменты, которые стоит запомнить:

• Фундаментальное соотношение: $(\cos \theta + i \sin \theta)^n = \cos n\theta + i \sin n\theta$ позволяет эффективно вычислять степени комплексных чисел
• Практическое применение: Формула упрощает операции с комплексными числами, особенно в тригонометрической форме
• Расширение на корни: Теорема позволяет находить все n-ые корни комплексного числа, что невозможно в действительных числах
• Тригонометрические тождества: Формула служит источником для получения формул кратных углов и преобразования степей тригонометрических функций
• Историческое значение: Открытие де Муавра стало важной вехой в развитии комплексного анализа и тригонометрии

Для практического использования формулы Муавра рекомендуется:

• Освоить представление комплексных чисел в тригонометрической форме
• Научиться эффективно преобразовывать числа между алгебраической и тригонометрической формами
• Применять формулу для решения практических задач из различных областей математики и физики

Формула Муавра остается актуальным инструментом в современной математике и находит применение в самых разных областях, от чистой математики до инженерных расчетов и теории сигналов.