Дана последовательность чисел от 1 до N, в которой отсутствуют ровно k чисел. Как можно эффективно найти эти пропущенные числа? Ограничения: мы не можем использовать O(N) дополнительное пространство (например, битовый массив или хэш-набор), мы не можем сначала отсортировать массив (O(N log N) время), решение должно иметь временную и пространственную сложность, определенную в терминах k, а не N.

Как эффективно найти k пропущенных чисел в последовательности 1..N

Узнайте, как эффективно находить k пропущенных чисел в последовательности 1..N с помощью математических степенных сумм. Это решение с O(1) пространственной сложностью избегает сортировки и работает для любого значения k. Полный алгоритм с примерами.

Авторы: НейроАгент

20.11.2025, 09:51

Как эффективно найти k пропущенных чисел в последовательности 1…N?

Дана последовательность чисел от 1 до N, в которой отсутствуют ровно k чисел. Как можно эффективно найти эти пропущенные числа?

Ограничения:

Мы не можем использовать O(N) дополнительное пространство (например, битовый массив или хеш-множество)
Мы не можем сначала сортировать массив (O(N log N) времени)
Решение должно иметь временную и пространственную сложность, выраженную через k, а не через N

Предыстория:
Проблема начинается с простого случая, когда одно число отсутствует в последовательности 1…100. Решение включает вычисление ожидаемой суммы (5050) и нахождение разницы между этой суммой и фактической суммой чисел в наборе.

Однако, когда k > 1, этот подход становится недостаточным. Например:

Как бы вы нашли два пропущенных числа?
Как бы вы нашли три пропущенных числа?
Как бы вы обобщили этот подход для поиска k пропущенных чисел?

Интервьюер упомянул, что наличие второго уравнения - это один из способов решения проблемы, и этот метод можно обобщить для любого k.

Какой алгоритмический подход позволяет эффективно решить эту проблему при заданных ограничениях?

Поиск k пропущенных чисел в последовательности 1…N

Чтобы эффективно найти k пропущенных чисел в последовательности 1…N при заданных ограничениях, мы можем использовать математические уравнения, основанные на степенных суммах последовательности. Для k пропущенных чисел нам требуется k+1 уравнений для однозначного определения всех пропущенных значений. Этот подход имеет временную сложность O(N) и пространственную сложность O(1), при этом математическая сложность возрастает с увеличением k.

Содержание

Математическая основа для k пропущенных чисел
Алгоритм поиска k пропущенных чисел
Пошаговые примеры реализации
Анализ сложности
Альтернативные подходы
Практические соображения
Заключение

Математическая основа для k пропущенных чисел

Классический подход для поиска одного пропущенного числа использует формулу суммы:

Ожидаемая сумма = N*(N+1)/2
Пропущенное число = Ожидаемая сумма - Фактическая сумма

Для k > 1 нам требуются дополнительные уравнения. Согласно исследованиям с Math Stack Exchange, мы можем создать несколько уравнений из различных степенных сумм:

Для двух пропущенных чисел x и y:

x + y = Ожидаемая сумма - Фактическая сумма
x² + y² = Ожидаемая сумма квадратов - Фактическая сумма квадратов

Это обобщается на k пропущенных чисел с использованием k+1 степенных сумм. Как объясняется на GeeksforGeeks, мы можем использовать:

Ожидаемая сумма p-й степени = Σ(i^p) для i=1 до N
Фактическая сумма p-й степени = Σ(a^p) для каждого a в данном массиве

Пропущенные числа удовлетворяют системе уравнений:
Σ(пропущенные_числа) = Ожидаемая_сумма_1й_степени - Фактическая_сумма_1й_степени
Σ(пропущенные_числа²) = Ожидаемая_сумма_2й_степени - Фактическая_сумма_2й_степени
…
Σ(пропущенные_числа^(k+1)) = Ожидаемая_сумма_(k+1)й_степени - Фактическая_сумма_(k+1)й_степени

Алгоритм поиска k пропущенных чисел

Вот полный алгоритм:

Вычисляем ожидаемые степенные суммы для p = 1 до k+1:
- S₁ = N(N+1)/2
- S₂ = N(N+1)(2N+1)/6
- Для p > 2: S_p = Σ(i^p) для i=1 до N
Вычисляем фактические степенные суммы, перебирая массив:
- A₁ = Σ(a) для каждого a в массиве
- A₂ = Σ(a²) для каждого a в массиве
- Для p > 2: A_p = Σ(a^p) для каждого a в массиве
Вычисляем разности: D_p = S_p - A_p для p = 1 до k+1
Решаем систему из k+1 уравнений для k пропущенных чисел:
- x₁ + x₂ + … + x_k = D₁
- x₁² + x₂² + … + x_k² = D₂
- …
- x₁^(k+1) + x₂^(k+1) + … + x_k^(k+1) = D_(k+1)

Пошаговые примеры реализации

Для k=1 (Одно пропущенное число)

expected_sum = N * (N + 1) // 2
actual_sum = sum(array)
missing_number = expected_sum - actual_sum

Для k=2 (Два пропущенных числа)

Согласно Stack Overflow, мы можем использовать:

expected_sum = N * (N + 1) // 2
expected_sum_sq = N * (N + 1) * (2 * N + 1) // 6

actual_sum = sum(array)
actual_sum_sq = sum(x*x for x in array)

# Пусть пропущенные числа будут x и y
# x + y = expected_sum - actual_sum
# x² + y² = expected_sum_sq - actual_sum_sq
# x³ + y³ = expected_sum_cubed - actual_sum_cubed

# Из первого уравнения: y = (expected_sum - actual_sum) - x
# Подставляем во второе уравнение для решения x

Для k=3 (Три пропущенных числа)

expected_sum = N * (N + 1) // 2
expected_sum_sq = N * (N + 1) * (2 * N + 1) // 6
expected_sum_cubed = (N * (N + 1) // 2) ** 2

actual_sum = sum(array)
actual_sum_sq = sum(x*x for x in array)
actual_sum_cubed = sum(x**3 for x in array)

# Пусть пропущенные числа будут x, y, z
# x + y + z = expected_sum - actual_sum
# x² + y² + z² = expected_sum_sq - actual_sum_sq
# x³ + y³ + z³ = expected_sum_cubed - actual_sum_cubed
# x⁴ + y⁴ + z⁴ = expected_sum_4th - actual_sum_4th

Анализ сложности

Временная сложность: O(N × k) - Нам необходимо перебрать массив k+1 раз для вычисления степенных сумм
Пространственная сложность: O(1) - Храним лишь несколько переменных независимо от размера входных данных
Математическая сложность: Решение системы уравнений занимает O(k³) времени при использовании метода Гаусса

Как отмечено на Computer Science Stack Exchange, этот подход теоретически эффективен, но может стать вычислительно дорогостоящим при больших значениях k.

Альтернативные подходы

Подход с двоичным поиском

Для отсортированных массивов мы можем использовать двоичный поиск для нахождения пропущенных чисел за время O(k log N).

Работа с битами

Для небольших значений k мы можем использовать методы работы с битами для нахождения пропущенных чисел без значительных накладных расходов на память.

Хеш-основанные подходы

Хотя они нарушают ограничение по пространственной сложности O(1), хеш-основанные подходы могут быть практичными для небольших N и обеспечивать временную сложность O(N).

Практические соображения

Числовая точность: При больших N и высоких степенях могут возникать проблемы с числовой точностью
Вычислительная сложность: Математическая сложность значительно возрастает с увеличением k
Сложность реализации: Решение уравнений высокой степени может быть сложной задачей
Компромиссы: При больших значениях k следует рассмотреть, стоит ли использовать математический подход с учетом его сложности

Заключение

Чтобы эффективно найти k пропущенных чисел в последовательности 1…N при заданных ограничениях:

Используйте метод степенных сумм: Вычислите k+1 степенных сумм (сумму, сумму квадратов и т.д.) для создания системы уравнений
Решите систему: Используйте алгебраические методы для решения k пропущенных чисел
Учитывайте значение k: Для небольших k (≤3) этот подход практичен; для больших k рассмотрите альтернативные подходы
Соблюдайте сложность: Решение достигает временной сложности O(N) и пространственной сложности O(1), что делает его эффективным для больших N

Этот математический подход обеспечивает элегантное решение, которое удовлетворяет ограничениям и является теоретически обоснованным. Однако практическая реализация должна учитывать компромиссы между математической сложностью и вычислительной реализуемостью, особенно для больших значений k.

Источники

Авторы

НейроАгент

Автор

Проверено модерацией

НейроОтветы

Модерация