Почему два подхода к подсчету путей дают разные результаты?

Первый подход неправильный, потому что он предполагает, что задачу можно разбить на независимые подзадачи (от 1 до 9 и от 11 до 30), и результаты можно перемножить. Однако это неверно, потому что в действительности нет пути из 9 в 11, минуя 10 - граф не позволяет таких переходов, поэтому подход просто считает пустое множество путей.

Содержание

• Основная проблема первого подхода
• Анализ работы первого кода
• Анализ работы второго кода
• Математическое обоснование различий
• Правильное решение задачи
• Примеры путей для наглядности
• Заключение

Основная проблема первого подхода

Ключевая ошибка первого подхода заключается в неправильном предположении о разделимости задачи. Разработчик предположил, что можно просто посчитать пути от 1 до 9, затем от 11 до 30 и перемножить результаты. Однако это фундаментально неверно, потому что:

• Нет непрерывных путей: В действительности пути должны быть непрерывными последовательностями от начального до конечного числа
• Отсутствие перехода 9 → 11: Чтобы перейти из 9 в 11, необходимо пройти через 10 (9 + 1 = 10, затем 10 + 1 = 11)
• Нарушение структуры графа: Операции “прибавить 1” и “умножить на 2” создают специфическую структуру графа, где некоторые переходы невозможны

Анализ работы первого кода

Рассмотрим детально, что делает первый подход:

def f(st, end):
    a={st: 1}
    for i in range(st + 1, end + 1):
        a[i]=0
        if i - 1 in a:
            a[i]+=a[i - 1]
        if i % 2 == 0 and int(i//2) in a:
            a[i]+=a[int(i//2)]
    return a[end]

print(f(1,9)*f(11,30))

Что происходит:

1. f(1,9) считает количество путей от 1 до 9
2. f(11,30) считает количество путей от 11 до 30
3. Результаты перемножаются

Проблема: Этот подход не учитывает, что нет путей из 9 в 11, минуя 10. В результате подход просто умножает два числа, но не учитывает, что эти пути на самом деле не могут быть объединены в единый путь от 1 до 30.

Важно: В графе операций “прибавить 1” и “умножить на 2” нет дуги из 9 в 11. Единственный способ попасть из 9 в 11 - это пройти через 10, что запрещено условием.

Анализ работы второго кода

Второй подход реализует правильную стратегию:

def f(st, end, propusk):
    a={st: 1}
    for i in range(st + 1, end + 1):
        a[i]=0
        a[propusk]=0
        if i - 1 in a:
            a[i]+=a[i - 1]
        if i % 2 == 0 and int(i//2) in a:
            a[i]+=a[int(i//2)]
    return a[end]

print(f(1,30, 10))

Ключевые отличия:

1. Единое вычисление: Считает все пути от 1 до 30 за один проход
2. Явное исключение: На каждой итерации явно устанавливает a[10] = 0
3. Корректная обработка ограничений: Динамическое программирование корректно учитывает запрет на прохождение через 10

Как это работает:

• Алгоритм строит таблицу a, где a[i] - количество путей от 1 до i
• На каждом шаге явно запрещает использование числа 10
• Корректно учитывает только те пути, которые никогда не проходят через 10

Математическое обоснование различий

Пусть:

• P(S, E) - множество путей из S в E
• P'(S, E) - множество путей из S в E, минуя 10

Первый подход вычисляет: |P(1, 9)| × |P(11, 30)|

Второй подход вычисляет: |P'(1, 30)|

Математическая ошибка:

$$|P'(1, 30)| \neq |P(1, 9)| \times |P(11, 30)|$$

Причина: Множество P'(1, 30) требует, чтобы путь был непрерывной последовательностью от 1 до 30. Разбиение на P(1, 9) и P(11, 30) нарушает это требование, так как нет продолжения из 9 в 11.

Правильное соотношение:

$$|P'(1, 30)| = |P(1, 30)| - \sum_{k=1}^{9} |P(1, k)| \times |P(k, 30)|$$

где в сумме учитываются только те пути, которые проходят через 10.

Правильное решение задачи

Правильный подход должен:

1. Считать все пути от 1 до 30 без ограничений
2. Вычитать пути, которые проходят через 10
3. Или явно исключать 10 при динамическом программировании

Альтернативный правильный код:

def count_paths(start, end, forbidden):
    # Сначала считаем все пути без ограничений
    all_paths = dynamic_programming(start, end)
    
    # Затем считаем пути, проходящие через forbidden
    paths_through_forbidden = 0
    for k in range(start, end + 1):
        if k == forbidden:
            continue
        paths_through_forbidden += dynamic_programming(start, k) * dynamic_programming(k, end)
    
    # Вычитаем запрещенные пути
    return all_paths - paths_through_forbidden

def dynamic_programming(start, end):
    dp = {}
    dp[start] = 1
    for i in range(start + 1, end + 1):
        dp[i] = 0
        if i - 1 in dp:
            dp[i] += dp[i - 1]
        if i % 2 == 0 and (i // 2) in dp:
            dp[i] += dp[i // 2]
    return dp[end]

Примеры путей для наглядности

Пример путей из 1 в 9:

• 1 → 2 → 3 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9
• 1 → 2 → 4 → 5 → 6 → 7 → 8 → 9
• 1 → 2 → 4 → 8 → 9

Пример путей из 11 в 30:

• 11 → 12 → 13 → 14 → 15 → 16 → 17 → 18 → 19 → 20 → 21 → 22 → 23 → 24 → 25 → 26 → 27 → 28 → 29 → 30
• 11 → 12 → 24 → 25 → 26 → 27 → 28 → 29 → 30

Почему нельзя объединить?

• Нет пути из 9 в 11: 9 + 1 = 10 (запрещено), 9 × 2 = 18
• Единственный вариант: 9 → 10 → 11, но 10 запрещен

Заключение

Основные выводы:

1. Неправильная декомпозиция: Первый подход ошибочно разбивает задачу на независимые подзадачи, хотя граф операций не позволяет таких разбиений.

2. Отсутствие непрерывности: Пути должны быть непрерывными последовательностями, а первый подход нарушает это требование.

3. Корректное динамическое программирование: Второй подход правильно использует динамическое программирование с явным исключением запрещенного числа.

4. Математическая ошибка: Умножение количеств путей в независимых сегментах не равно количеству путей в связной задаче с ограничениями.

Рекомендация: При решении задач на подсчет путей с ограничениями всегда используйте единое динамическое программирование с явным учетом всех ограничений, а не пытайтесь декомпозировать задачу на независимые подзадачи.