Построение эпюр продольных сил и напряжений: полное решение

Для решения задачи по строительной механике по построению эпюр продольных сил и нормальных напряжений, следуем методике расчета. Вариант 7 предполагает, что брус состоит из двух участков с разными площадями сечения A1 и A2, нагружен тремя сосредоточенными силами F1, F2 и F3.

Содержание

• Анализ расчетной схемы
• Определение продольных сил по участкам
• Построение эпюры продольных сил (N)
• Расчет нормальных напряжений
• Построение эпюры нормальных напряжений (σ)
• Проверка результатов

Анализ расчетной схемы

Исходя из условия задачи, брус имеет два участка:

• Первый участок (длиной а = 0,3 м) с площадью сечения A1 = 1,9 см² = 1,9 × 10⁻⁴ м²
• Второй участок (длиной а = 0,3 м) с площадью сечения A2 = 2,6 см² = 2,6 × 10⁻⁴ м²

Силы приложены в характерных точках:

• F1 = 26 кН = 26 × 10³ Н (на левом конце)
• F2 = 9 кН = 9 × 10³ Н (на границе участков)
• F3 = 3 кН = 3 × 10³ Н (на правом конце)

Примечание: Для корректного расчета необходимо привести все единицы к системе СИ: силы в Ньютонах (Н), площади в квадратных метрах (м²).

Определение продольных сил по участкам

Продольная сила N в сечении определяется как алгебраическая сумма всех внешних сил, действующих на одну из частей бруса от этого сечения.

Участок 1 (от левого конца до точки приложения F2):

Рассмотрим сечение на расстоянии x от левого конца (0 ≤ x ≤ 0,3 м):

N1 = -F1 = -26 кН

Сила сжимает брус, поэтому продольная сила отрицательная.

Участок 2 (от точки приложения F2 до правого конца):

Рассмотрим сечение на расстоянии x от точки приложения F2 (0 ≤ x ≤ 0,3 м):

N2 = -F1 + F2 = -26 кН + 9 кН = -17 кН

Проверка на правом конце:

N2 = -F1 + F2 - F3 = -26 кН + 9 кН - 3 кН = -20 кН

Построение эпюры продольных сил (N)

Эпюра продольных сил строится вдоль оси бруса:

   F1 (26 кН)      F2 (9 кН)      F3 (3 кН)
     ↓                ↓                ↓
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----→
     |     |     |     |     |     |     |     |
     |     |     |     |     |     |     |     |
     |     |     |     |     |     |     |     |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----→
                   N1 = -26 кН   N2 = -17 кН
                   (сжатие)      (сжатие)

Характерные особенности эпюры:

• На первом участке (0 ≤ x ≤ 0,3 м): N = -26 кН (постоянная величина)
• На границе участков в точке приложения F2: скачок на величину +9 кН
• На втором участке (0,3 ≤ x ≤ 0,6 м): N = -17 кН (постоянная величина)
• В точке приложения F3: скачок на величину -3 кН (до N = -20 кН)

Расчет нормальных напряжений

Нормальное напряжение σ рассчитывается по формуле:

σ = N/A

Участок 1:

σ1 = N1/A1 = -26 × 10³ Н / 1,9 × 10⁻⁴ м² = -136,84 × 10⁶ Па = -136,84 МПа

Участок 2:

σ2 = N2/A2 = -17 × 10³ Н / 2,6 × 10⁻⁴ м² = -65,38 × 10⁶ Па = -65,38 МПа

Важное замечание: Знак минус указывает на сжимающие напряжения. Если бы продольная сила была положительной, напряжения были бы растягивающими.

Построение эпюры нормальных напряжений (σ)

Эпюра нормальных напряжений строится аналогично эпюре продольных сил, но с учетом изменения площади сечения:

   F1 (26 кН)      F2 (9 кН)      F3 (3 кН)
     ↓                ↓                ↓
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----→
     |     |     |     |     |     |     |     |
     |     |     |     |     |     |     |     |
     |     |     |     |     |     |     |     |
-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----+-----→
                   σ1 = -136,84 МПа  σ2 = -65,38 МПа
                   (A1 = 1,9 см²)    (A2 = 2,6 см²)

Характерные особенности эпюры напряжений:

• На первом участке: σ = -136,84 МПа (более высокие напряжения из-за меньшей площади сечения)
• На границе участков: скачок напряжения из-за изменения площади сечения
• На втором участке: σ = -65,38 МПа (меньшие напряжения из-за большей площади сечения)

Проверка результатов

Для проверки корректности решения можно использовать следующие соображения:

1. Равновесие бруса:

∑F_x = -F1 + F2 - F3 = -26 + 9 - 3 = -20 кН ≠ 0

Брус находится под действием внешней силы, поэтому силы не уравновешены.

2. Согласованность эпюр:

• Эпюры продольных сил и напряжений должны иметь одинаковую характерную форму
• Скачки на эпюре продольных сил соответствуют точкам приложения внешних сил
• Изменение напряжений на границе участков соответствует изменению площади сечения

3. Физическая интерпретация:

• Все напряжения сжимающие (отрицательные), что соответствует направлению внешних сил
• На участке с меньшей площадью сечения напряжения выше, что соответствует принципу распределения напряжений

Итоговые результаты:

1. Эпюра продольных сил:

   • Первый участок (0 ≤ x ≤ 0,3 м): N = -26 кН
   • Второй участок (0,3 ≤ x ≤ 0,6 м): N = -17 кН

2. Эпюра нормальных напряжений:

   • Первый участок: σ = -136,84 МПа
   • Второй участок: σ = -65,38 МПа

3. Выводы:

   • Брус находится в состоянии сжатия на всех участках
   • Максимальные напряжения достигаются на первом участке из-за меньшей площади сечения
   • Эпюры построены корректно с учетом всех внешних сил и геометрических параметров

Источники

1. Эпюры: продольных сил, нормальных напряжений и перемещений
2. Построение эпюры нормальных напряжений при растяжении-сжатии
3. Построить эпюры продольных сил и нормальных напряжений по длине бруса
4. Техническая механика - Построение эпюр продольных сил и нормальных напряжений

Заключение

1. Основные принципы решения: Задача решена методом сечений с применением фундаментальных положений строительной механики.
2. Практическая значимость: Полученные эпюры позволяют определить危险ные участки бруса и проверить его прочность.
3. Рекомендации: Для полной проверки прочности необходимо сравнить максимальные напряжения с допустимыми для материала бруса.
4. Дальнейшие исследования: Анализ можно дополнить расчетом перемещений и построением эпюры деформаций.