Как построить график log₁/₃(x−2): этапы и особенности

Построить график функции y = log₁/₃(x−2) нужно с использованием преобразований базового графика логарифмической функции с основанием меньше единицы. Сначала необходимо построить график функции y = log₁/₃(x), а затем выполнить горизонтальное смещение на 2 единицы вправо, учитывая особенности логарифмической функции с основанием, меньшим единицы, которая является убывающей и имеет асимптоту по оси OY.

Содержание

• Основные характеристики логарифмической функции с основанием меньше единицы
• [Этапы построения графика y = log₁/₃(x−2)]#etapy-postroeniya)
• Свойства и особенности функции
• Преобразования графиков логарифмических функций
• Примеры решения задач
• Практические рекомендации

Основные характеристики логарифмической функции с основанием меньше единицы

Логарифмическая функция вида y = logₐx, где 0 < a < 1, обладает рядом уникальных свойств, отличающих её от функций с основанием, большим единицы. Согласно исследованиям, логарифмическая функция с положительным и меньшим единицы основанием на промежутке (0; 1) положительна, а на промежутке (1; +∞) отрицательна [источник 1].

Ключевые особенности логарифмической функции с основанием меньше единицы:

• Функция убывающая: При увеличении аргумента уменьшается значение функции
• Область определения: x > 0
• Область значений: (-∞; +∞)
• График всегда проходит через точку (1; 0)
• Вертикальная асимптота: x = 0 (ось OY)
• Функция не является ни чётной, ни нечётной

Как отмечается в источнике, графики логарифмических функций с разными основаниями, меньшими единицы, являются зеркальным отражением графиков с основаниями, большими единицы, относительно горизонтальной оси [источник 2].

Этапы построения графика y = log₁/₃(x−2)

Построение графика y = log₁/₃(x−2) выполняется в несколько последовательных этапов:

1. Построение базового графика y = log₁/₃(x)

Сначала необходимо построить график основной функции y = log₁/₃(x). Для этого:

1. Определить ключевые точки:

   • Точка (1, 0) - логарифм от 1 по любому основанию равен 0
   • Точка (3, -1) - так как 3⁻¹ = 1/3, значит log₁/₃(3) = -1
   • Точка (1/3, 1) - так как (1/3)¹ = 1/3, значит log₁/₃(1/3) = 1

2. Построить кривую, учитывая что функция убывает

2. Горизонтальное смещение графика

После построения базового графика выполняется преобразование y = log₁/₃(x) → y = log₁/₃(x−2). Согласно исследованиям, добавление смещения аргумента, получив log₂(x-2), что сдвинуло весь график и асимптоту вправо [источник 11].

Правило преобразования: y = f(x−h) сдвигает график функции на h единиц вправо.

Для нашей функции:

• h = 2, поэтому график сдвигается на 2 единицы вправо
• Вертикальная асимптота сдвигается с x = 0 на x = 2
• Ключевые точки также смещаются на 2 единицы вправо:
  • (1, 0) → (3, 0)
  • (3, -1) → (5, -1)
  • (1/3, 1) → (7/3, 1)

3. Корректировка области определения

После преобразования y = log₁/₃(x−2) необходимо определить новую область определения:

• Аргумент логарифма должен быть положительным: x−2 > 0
• Следовательно: x > 2
• Область определения: (2; +∞)

Свойства и особенности функции

Функция y = log₁/₃(x−2) обладает следующими свойствами:

Как отмечается в источнике, если основание логарифма 0 < a < 1, то функция убывающая [источник 8]. Для нашей функции с основанием 1/3 это означает, что при увеличении x от 2 до +∞ значение y уменьшается от +∞ до -∞.

Важно: Логарифмическая функция не является ни четной, ни нечетной, что справедливо и для преобразованных функций вида y = logₐ(kx + b) [источник 8].

Преобразования графиков логарифмических функций

Построение графиков логарифмических функций включает различные преобразования:

Горизонтальные преобразования

• y = logₐ(x−h) - сдвиг графика на h единиц вправо
• y = logₐ(x+h) - сдвиг графика на h единиц влево
• y = logₐ(kx) - горизонтальное растяжение/сжатие в |k| раз

Вертикальные преобразования

• y = logₐ(x) + m - сдвиг графика на m единиц вверх
• y = logₐ(x) − m - сдвиг графика на m единиц вниз

Комбинированные преобразования

Сложные функции вида y = af(kx + b) + m требуют выполнения преобразований в определённой последовательности [источник 10]. Для функции y = log₁/₃(x−2) мы имеем простой случай горизонтального сдвига.

Примеры решения задач

Пример 1: Сравнение значений функции

Сравнить значения log₁/₃(5) и log₁/₃(7):

Решение:

• Так как основание 1/3 < 1, функция убывающая
• 5 < 7, поэтому log₁/₃(5) > log₁/₃(7)
• Ответ: log₁/₃(5) > log₁/₃(7)

Пример 2: Нахождение области определения

Найти область определения функции y = log₁/₃(2x−6):

Решение:

• Аргумент должен быть положительным: 2x−6 > 0
• 2x > 6
• x > 3
• Область определения: (3; +∞)

Пример 3: Построение графика с несколькими преобразованиями

Построить график функции y = 2log₁/₃(x−4) + 1:

1. Построить базовый график y = log₁/₃(x)
2. Сдвинуть на 4 единицы вправо: y = log₁/₃(x−4)
3. Вертикально растянуть в 2 раза: y = 2log₁/₃(x−4)
4. Сдвинуть на 1 единицу вверх: y = 2log₁/₃(x−4) + 1

Практические рекомендации

При построении графиков логарифмических функций с основанием меньше единицы рекомендуется:

1. Всегда начинать с базового графика y = logₐx, где 0 < a < 1
2. Учитывать направление монотонности - функция всегда убывает при a < 1
3. Определять вертикальную асимптоту - это линия, где аргумент обращается в ноль
4. Использовать ключевые точки (1,0), (a,1), (1/a,-1) для построения
5. Проверять область определения после каждого преобразования
6. Памятовать о зеркальной симметрии с функциями, имеющими основания > 1

---

Источники

1. Логарифмическая функция, её свойства и график с примерами решения
2. Логарифм — Википедия
3. Урок 26. логарифмическая функция - Алгебра и начала математического анализа - 10 класс - Российская электронная школа
4. Теоретический материал: Логарифмическая функция, ее свойства и график
5. Презентация к уроку математики в 10 классе по теме “Логарифмическая функция, ее график и свойства”
6. Элементарные функции. Логарифмическая функция | Подготовка к ЕГЭ по математике
7. Логарифмическая функция, её свойства и график — урок. Алгебра, 11 класс.
8. Логарифмическая функция. Определение, построение, примеры решения задач
9. График логарифмической функции: свойства, построение и примеры
10. Преобразование графика функции
11. Графики логарифмических функций: y = ln(x), y = lg(x), y = log5(x): логарифм по основанию n от x: y = logn(x)

Заключение

Построение графика функции y = log₁/₃(x−2) требует понимания ключевых особенностей логарифмических функций с основанием меньше единицы. Основные выводы:

1. Логарифмические функции с основанием 0 < a < 1 являются убывающими, что определяет характер поведения графика
2. Преобразования графиков выполняются по строгим правилам - горизонтальное смещение меняет положение асимптоты и ключевых точек
3. Область определения всегда требует проверки - аргумент логарифма должен быть положительным
4. График всегда проходит через точку (1;0) в базовом виде, что смещается при преобразованиях
5. Вертикальная асимптота является важной характеристикой, определяющей поведение функции при приближении к границе области определения

Для успешного построения графиков логарифмических функций рекомендуется сначала освоить базовые свойства, а затем последовательно применять преобразования, сохраняя контроль над областью определения и характером монотонности.