Процент мальчиков среди первоклассников

Из условия задачи следует, что 20% мальчиков стоят в паре с другим мальчиком, а 80% девочек стоят в паре с другой девочкой. Это означает, что 80% мальчиков и 20% девочек стоят в смешанных парах (мальчик-девочка). Поскольку количество мальчиков и девочек в смешанных парах должно быть одинаковым, мы можем составить пропорцию и найти, что мальчики составляют 20% всех первоклассников.

Содержание

• Постановка задачи
• Математический анализ
• Решение через уравнения
• Проверка решения
• Объяснение интуитивно
• Анализ ограничений
• Заключение

Постановка задачи

На линейке, посвященной 1 сентября, первоклассников расставили по парам. Известно:

• 20% мальчиков стоят в паре с другим мальчиком
• 80% девочек стоят в паре с другой девочкой

Требуется найти: какой процент всех первоклассников составляют мальчики?

Математический анализ

Давайте обозначим:

• B = количество мальчиков
• G = количество девочек
• T = общее количество первоклассников = B + G

Из условия задачи:

• 20% мальчиков в парах мальчик-мальчик
• 80% девочек в парах девочка-девочка

Это означает:

• 80% мальчиков в парах мальчик-девочка
• 20% девочек в парах мальчик-девочка

Решение через уравнения

Поскольку в смешанных парах (мальчик-девочка) количество мальчиков и девочек должно быть одинаковым:

0.8 × B = 0.2 × G

Отсюда:

G = (0.8 × B) / 0.2 = 4 × B

Общее количество первоклассников:

T = B + G = B + 4B = 5B

Процент мальчиков в общем количестве:

(B / T) × 100% = (B / 5B) × 100% = 20%

Проверка решения

Проверим наше решение. Предположим, что в школе 100 первоклассников:

• Мальчиков: 20 человек (20%)
• Девочек: 80 человек (80%)

Распределим по парам:

• Пар мальчик-мальчик: 20% × 20 мальчиков = 4 мальчика → 2 пары
• Пар девочка-девочка: 80% × 80 девочек = 64 девочки → 32 пары
• Остальные: 16 мальчиков и 16 девочек → 16 смешанных пар

Проверим условия:

• Из 20 мальчиков: 4 в парах мальчик-мальчик (20%), 16 в смешанных парах (80%)
• Из 80 девочек: 64 в парах девочка-девочка (80%), 16 в смешанных парах (20%)

Условия задачи выполняются.

Объяснение интуитивно

Интуитивно понять решение можно следующим образом:

• Мальчики, которые не стоят в парах мальчик-мальчик (80% от общего числа мальчиков), должны составить смешанные пары
• Девочки, которые не стоят в парах девочка-девочка (20% от общего числа девочек), также должны составить смешанные пары
• Поскольку количество мест в смешанных парах одинаково для мальчиков и девочек, получаем: 80% мальчиков = 20% девочек

Это соотношение показывает, что девочек в 4 раза больше, чем мальчиков, поэтому мальчики составляют 1/5 (20%) от общего числа первоклассников.

Анализ ограничений

Задача имеет следующие особенности:

1. Целочисленность: Количество мальчиков и девочек должно быть таким, чтобы процентные соотношения приводили к целому числу пар.

2. Общее количество: Общее количество первоклассников должно делиться на 5 (поскольку соотношение мальчиков к девочкам 1:4).

3. Минимальное количество: Минимальное количество первоклассников, при котором задача имеет решение - 5 (1 мальчик и 4 девочки).

Заключение

Мальчики составляют 20% всех первоклассников в школе. Это решение следует из того факта, что 80% мальчиков и 20% девочек должны быть в смешанных парах, что приводит к соотношению мальчиков к девочкам 1:4.

Источники:

1. Pairs - math word problem (1183)
2. Combinatorics: boy-girl pairs
3. Probability to form boy-girl pairs