Решение задачи о диагоналях прямоугольника с перпендикуляром

Краткий ответ

Длины диагоналей прямоугольника ABCD составляют 20 см. Это следует из условия AO = 2 × DK и свойства прямоугольника, что диагонали равны и точкой пересечения делятся пополам.

Содержание

• Анализ условия и свойства прямоугольника
• Координатный метод решения
• Вычисление длины диагонали
• Проверка решения
• Заключение

---

Анализ условия и свойства прямоугольника

Сначала разберёмся в условии задачи и вспомним основные свойства прямоугольника:

1. Диагонали прямоугольника равны по длине и точкой пересечения делятся пополам
2. Все углы прямоугольника равны 90°
3. Противоположные стороны равны и параллельны

Из условия задачи:

• AB = 10 см
• AO = 2 × DK, где O – точка пересечения диагоналей

Поскольку диагонали прямоугольника точкой пересечения делятся пополам, имеем:

• AO = OC = BO = OD = x (назовём эту длину x)
• Тогда DK = x/2

---

Координатный метод решения

Для удобства решения разместим прямоугольник в декартовой системе координат:

• Пусть O будет в начале координат (0, 0)
• Точки прямоугольника:
  • A(-a, -b)
  • B(a, -b)
  • C(a, b)
  • D(-a, b)

Применяя условие AB = 10 см:
Расстояние между точками A(-a, -b) и B(a, -b):
AB = √[(a - (-a))² + (-b - (-b))²] = √[(2a)² + 0] = 2a = 10 см

Отсюда: a = 5 см

Уравнение диагонали BD:
Точки B(a, -b) и D(-a, b)
Угол наклона: m = (b - (-b))/(-a - a) = 2b/(-2a) = -b/a

Уравнение прямой: y = (-b/a)x

Уравнение перпендикуляра CK:
Поскольку CK ⊥ BD, угол наклона CK = a/b
Уравнение через точку C(a, b): y - b = (a/b)(x - a)

Точка пересечения K:
Приравниваем уравнения:
(-b/a)x = (a/b)x - (a² - b²)/b

Решая, получаем координаты K:
x = a(a² - b²)/(a² + b²)
y = -b(a² - b²)/(a² + b²)

---

Вычисление длины диагонали

Расстояние AO:
AO = √[(-a - 0)² + (-b - 0)²] = √(a² + b²)

Расстояние DK:
DK = 2a²/√(a² + b²)

Из условия AO = 2 × DK:
√(a² + b²) = 2 × 2a²/√(a² + b²)
√(a² + b²) = 4a²/√(a² + b²)

Умножая обе части на √(a² + b²):
a² + b² = 4a²
b² = 3a²
b = a√3

Подставляя a = 5 см:
b = 5√3 см

Длина диагонали:
AC = BD = √[(a - (-a))² + (-b - b)²] = √[4a² + 4b²] = 2√(a² + b²) = 2√(25 + 75) = 2√100 = 20 см

---

Проверка решения

Проверим соответствие условию AO = 2 × DK:

• AO = √(5² + (5√3)²) = √(25 + 75) = √100 = 10 см
• DK = 2 × 5²/√(5² + (5√3)²) = 50/10 = 5 см

Видим, что AO = 10 см = 2 × 5 см = 2 × DK, что полностью соответствует условию.

---

Заключение

В ходе решения задачи мы установили, что длины диагоналей прямоугольника ABCD составляют 20 см. Основные выводы:

1. Диагонали прямоугольника равны и точкой пересечения делятся пополам
2. Условие AO = 2 × DK позволило установить отношение сторон прямоугольника
3. Координатный метод оказался эффективным для решения геометрической задачи с перпендикуляром к диагонали
4. Полученное решение полностью удовлетворяет исходным условиям задачи

Таким образом, длина каждой диагонали прямоугольника ABCD составляет 20 см.

Источники

1. Свойства прямоугольника и его диагоналей
2. Доказательства свойств прямоугольников
3. Координатный метод в геометрии