Решение задач по теоремам синуса и косинуса

Теорема косинусов и теорема синусов — мощные инструменты для решения треугольников в геометрии 9 класса. С помощью этих теорем можно находить неизвестные стороны и углы треугольника, когда известны как минимум три элемента: две стороны и угол между ними, или три стороны, или две стороны и угол противолежащий одной из них.

Содержание

• Основные формулы теорем
• Применение теоремы косинусов
• Применение теоремы синусов
• Комбинированные задачи
• Практические советы

Основные формулы теорем

Теорема косинусов позволяет находить сторону треугольника по двум известным сторонам и углу между ними:

$$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cdot \cos(\gamma)$$

где $c$ — искомая сторона, $a$ и $b$ — известные стороны, $\gamma$ — угол между известными сторонами.

Теорема синусов устанавливает соотношение между сторонами треугольника и синусами противолежащих углов:

$$\frac{a}{\sin(\alpha)} = \frac{b}{\sin(\beta)} = \frac{c}{\sin(\gamma)} = 2R$$

где $R$ — радиус описанной окружности треугольника.

Как отмечено в материалах Тетрики, важно понимать, что синус одного острого угла прямоугольного треугольника равен косинусу другого острого угла того же треугольника.

---

Применение теоремы косинусов

Пример 1: Нахождение стороны треугольника

Задача: В треугольнике ABC известны стороны AB = 6 см, AC = 8 см и угол между ними $\angle BAC = 60°$. Найти сторону BC.

Решение:
Используем теорему косинусов:

$$BC^2 = AB^2 + AC^2 - 2 \cdot AB \cdot AC \cdot \cos(60°)$$

$$BC^2 = 6^2 + 8^2 - 2 \cdot 6 \cdot 8 \cdot 0.5$$

$$BC^2 = 36 + 64 - 48 = 52$$

$$BC = \sqrt{52} = 2\sqrt{13} \text{ см}$$

Пример 2: Нахождение угла треугольника

Задача: В треугольнике ABC известны стороны AB = 5 см, BC = 7 см, AC = 8 см. Найти угол $\angle ABC$.

Решение:
Перепишем теорему косинусов для нахождения угла:

$$\cos(\beta) = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac}$$

где $b$ — сторона против угла $\beta$, $a$ и $c$ — остальные стороны.

$$\cos(\angle ABC) = \frac{BC^2 + AB^2 - AC^2}{2 \cdot BC \cdot AB}$$

$$\cos(\angle ABC) = \frac{7^2 + 5^2 - 8^2}{2 \cdot 7 \cdot 5} = \frac{49 + 25 - 64}{70} = \frac{10}{70} = \frac{1}{7}$$

$$\angle ABC = \arccos\left(\frac{1}{7}\right) \approx 81.79°$$

Важно: При нахождении углов через арккосинус всегда учитывайте, что угол в треугольнике находится в пределах от $0°$ до $180°$.

---

Применение теоремы синусов

Пример 3: Нахождение неизвестных элементов треугольника

Задача: В треугольнике ABC известны сторона AB = 12 см, угол $\angle A = 30°$, угол $\angle B = 45°$. Найти остальные стороны и угол.

Решение:

1. Найдем угол $\angle C$:

   $$\angle C = 180° - \angle A - \angle B = 180° - 30° - 45° = 105°$$

2. Используем теорему синусов для нахождения стороны BC:

   $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)}$$

   $$\frac{12}{\sin(105°)} = \frac{BC}{\sin(30°)}$$

   $$BC = \frac{12 \cdot \sin(30°)}{\sin(105°)} = \frac{12 \cdot 0.5}{\sin(105°)} = \frac{6}{\sin(105°)}$$

   Поскольку $\sin(105°) = \sin(75°) = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$, то:

   $$BC = \frac{6 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{24}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

   Упростим выражение:

   $$BC = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{6 - 2} = 6(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

3. Найдем сторону AC:

   $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{AC}{\sin(B)}$$

   $$AC = \frac{12 \cdot \sin(45°)}{\sin(105°)} = \frac{12 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{6\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{24\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

   Упростим:

   $$AC = \frac{24\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{24\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 6\sqrt{2}(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

Пример 4: Задача с описанной окружностью

Задача: В треугольнике ABC сторона AB = 22√2 см, угол $\angle C = 135°$. Найти радиус описанной окружности.

Решение:
Из материалов 100балльного учебника известно, что сторону и противолежащий угол связывает теорема синусов:

$$\frac{AB}{\sin(C)} = 2R$$

$$\frac{22\sqrt{2}}{\sin(135°)} = 2R$$

Поскольку $\sin(135°) = \sin(180° - 45°) = \sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2}$, то:

$$\frac{22\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 22\sqrt{2} \cdot \frac{2}{\sqrt{2}} = 44 = 2R$$

$$R = 22 \text{ см}$$

---

Комбинированные задачи

Пример 5: Сложная задача с использованием обеих теорем

Задача: В треугольнике ABC сторона AB = 10 см, угол $\angle A = 60°$, угол $\angle B = 45°$. Найти радиус описанной окружности и площадь треугольника.

Решение:

1. Найдем угол $\angle C$:

   $$\angle C = 180° - 60° - 45° = 75°$$

2. Найдем радиус описанной окружности через теорему синусов:

   $$\frac{AB}{\sin(C)} = 2R$$

   $$\frac{10}{\sin(75°)} = 2R$$

   $$\sin(75°) = \sin(45° + 30°) = \sin(45°)\cos(30°) + \cos(45°)\sin(30°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}$$

   $$2R = \frac{10 \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{40}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

   $$R = \frac{20}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{20(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = 5(\sqrt{6} - \sqrt{2})$$

3. Найдем остальные стороны через теорему синусов:

   $$\frac{AB}{\sin(C)} = \frac{BC}{\sin(A)} = \frac{AC}{\sin(B)}$$

   $$BC = \frac{10 \cdot \sin(60°)}{\sin(75°)} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{5\sqrt{3} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

   $$AC = \frac{10 \cdot \sin(45°)}{\sin(75°)} = \frac{10 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}}{\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{4}} = \frac{5\sqrt{2} \cdot 4}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

4. Найдем площадь треугольника через формулу:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot AC \cdot \sin(\angle A)$$

   Но проще использовать другую формулу:

   $$S = \frac{AB \cdot BC \cdot AC}{4R}$$

   Или через две стороны и угол между ними:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot AB \· AC \cdot \sin(\angle A)$$

   Мы уже знаем все стороны, поэтому:

   $$S = \frac{1}{2} \cdot 10 \cdot \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \sin(60°)$$

   $$S = 5 \cdot \frac{20\sqrt{2}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 25\sqrt{2} \cdot \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}} = \frac{25\sqrt{6}}{\sqrt{6} + \sqrt{2}}$$

   $$S = \frac{25\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{(\sqrt{6} + \sqrt{2})(\sqrt{6} - \sqrt{2})} = \frac{25\sqrt{6}(\sqrt{6} - \sqrt{2})}{4} = \frac{25(6 - \sqrt{12})}{4} = \frac{25(6 - 2\sqrt{3})}{4} = \frac{25(3 - \sqrt{3})}{2}$$

---

Практические советы

1. Выбор теоремы: Используйте теорему косинусов, когда известны две стороны и угол между ними, или все три стороны. Используйте теорему синусов, когда известны две стороны и угол против одной из них, или два угла и любая сторона.

2. Проверка решений: Всегда проверяйте, что сумма углов треугольника равна 180°, и что стороны удовлетворяют неравенству треугольника.

3. Упрощение выражений: При работе с тригонометрическими функциями используйте основные тригонометрические тождества и формулы сложения.

4. Приближенные вычисления: В некоторых случаях можно использовать приближенные значения: $\sin(30°) = 0.5$, $\sin(45°) = \frac{\sqrt{2}}{2} \approx 0.707$, $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2} \approx 0.866$.

5. Графическое представление: Рекомендую строить чертеж к каждой задаче — это помогает визуализировать условия и найти решение.

---

Источники

1. InternetUrok - Тригонометрические функции произвольных углов. Теоремы синусов и косинусов
2. Тетрика - Синус, косинус, тангенс, котангенс
3. 100балльный учебник - Описанные окружности: задание №1 в профиле по математике
4. InternetUrok - Функция y=cos t, её свойства и график
5. InternetUrok - Решение задач на косинус и синус разности аргументов

Заключение

• Теорема косинусов незаменима для нахождения сторон треугольника по двум сторонам и углу между ними, или для нахождения углов по трём известным сторонам.
• Теорема синуса позволяет находить неизвестные стороны и углы треугольника, когда известны две стороны и угол против одной из них, или два угла и любая сторона.
• При решении задач важно правильно выбирать подходящую теорему и применять тригонометрические тождества для упрощения вычислений.
• Всегда проверяйте правильность решения через сумму углов треугольника и неравенство треугольника.
• Для более сложных задач используйте комбинацию обеих теорем и дополнительных формул геометрии треугольников.

Для закрепления материала рекомендую решать дополнительные задачи с постепенным усложнением условий. Практика поможет вам уверенно применять эти важные геометрические теоремы в любых ситуациях.