Площадь фигуры, ограниченной y=sec²x, от 0 до π/4 с интегралом

Площадь равна 1.

Содержание

• Общая постановка задачи
• Интегрирование функции sec²x
• Проверка численным интегрированием
• Итог

Общая постановка задачи

Нам нужно вычислить площадь области, ограниченной графиком функции
$y = \dfrac{1}{\cos^2 x}$ (или $y=\sec^2 x$), прямой $x=0$ и прямой $x=\frac{\pi}{4}$.
Площадь можно найти как определённый интеграл

$$S=\int_{0}^{\pi/4} \sec^2 x \, dx .$$

Интегрирование функции sec²x

Функция $\sec^2 x$ известна как производная тангенса:

$$\frac{d}{dx}\tan x = \sec^2 x .$$

Отсюда

$$\int \sec^2 x \, dx = \tan x + C .$$

Подставляем пределы интегрирования:

$$S = \left[\,\tan x\,\right]_{0}^{\pi/4} = \tan\!\left(\frac{\pi}{4}\right) - \tan(0) = 1 - 0 = 1 .$$

Таким образом, площадь равна единице.
Эта формула и её применение подробно описаны, например, в материалах Khan Academy: Integral of sec²x.

Проверка численным интегрированием

Для подтверждения результата можно воспользоваться численным интегрированием, например, методом трапеций или встроенной функцией WolframAlpha:

• WolframAlpha: integrate sec^2 x from 0 to pi/4
  выдаёт результат 1.

Сравнение аналитического и численного результатов подтверждает корректность вычисления.

Итог

• Площадь фигуры, ограниченной $y=\sec^2 x$, $x=0$ и $x=\pi/4$, равна 1.
• Важный момент: интеграл $\int \sec^2 x\,dx$ всегда равен $\tan x + C$, поэтому при любом интервале можно быстро получить площадь, если знать значения тангенса в границах.
• Если бы предельные точки были другими, просто подставьте их в $\tan x$; разность даст площадь.

---

Источники

1. Khan Academy – Integral of sec²x – объяснение интегрирования sec²x.
2. WolframAlpha – integrate sec^2 x from 0 to pi/4 – численное подтверждение результата.
3. Math Stack Exchange – Integral of sec²x – обсуждение свойства интеграла sec²x.