Сколько кристаллов сахара в 5 кг: расчет и формулы

Примерно посчитать, сколько кристаллов сахара содержится в 5 кг сахарного песка, можно, приняв средний размер кристалла и плотность сахарозы, вычислив объём и массу одной крупинки и разделив 5000 г на эту массу. При классических допущениях (плотность кристалла ~1,5915 г/см³ и эквивалентный диаметр 0,63–0,8 мм) получится порядка 1,2·10^7–2,4·10^7 гранул; при других размерах число изменяется в соответствии с законом $N\propto D^{-3}$. Ниже — пошаговый расчёт с формулами, примерами для нескольких фракций и практическими замечаниями.

Содержание

• Введение
• Допущения и исходные данные
• Модель расчёта кристаллов сахара и формулы
• Пример расчёта для 5 кг сахарного песка (несколько размеров)
• Влияние влажности, пустот и фракционного состава
• Практическая методика: как проверить опытно и уменьшить погрешность
• Источники
• Заключение

Введение

Задача сводится к простой идее: определить массу одной крупинки (гранулы, кристалла сахара), а затем разделить общую массу (5 кг = 5000 г) на эту массу. Для оценки нужно принять модель формы кристалла (шар, эллипсоид или параллелепипед), размерный параметр (например, эквивалентный диаметр или максимальный размер) и плотность твердого вещества — сахарозы. Разброс реальных значений большой: от пылевидных частиц до крупных кристаллов — поэтому результат даёт ориентир, а не точный исчерпывающий ответ.

Допущения и исходные данные

• Плотность кристаллической сахарозы (твёрдого кристалла) при 20 °C: ρ ≈ 1,5915 г/см³. Источник: энциклопедическая справка по сахарозе (sugar.ru).
• Размеры кристаллов сахарного песка: типичный диапазон 0,2–2,5 мм; часто в бытовом «сахарном песке» встречаются фракции ~0,63–0,8 мм (см. Википедия, промышленные данные и публикации).
• Насыпная (bulk) плотность зависит от фракции и упаковки — ориентиры для разных фракций: 762,5–910 кг/м³ (см. таблицы насыпной плотности для фракций) — пример таблицы и обзор физических свойств thermalinfo.ru. Насыпная плотность полезна для проверки и для привязки объёма мешка; однако для подсчёта числа кристаллов удобнее использовать плотность самого кристалла (см. ниже).
• Форма кристалла: моноклинная кристаллическая форма с относительными осями ≈ 1,285:1:0,895 (ориентир для эллипсоидной аппроксимации) — агро-портал.
• Влажность: по ГОСТ, массовая доля влаги у белого сахара невысока (порядка десятых долей процента) — ГОСТ 33222-2015. Влажность даёт мелкую поправку к массе, но влияет на слёживаемость и насыпную плотность.

Рекомендация: для реальной оценки лучше брать отдельную фракцию (например, просеять через сито 0,63–0,8 мм) и проводить измерение на ней — так вы снизите ошибку, связанную с полидисперсностью.

Модель расчёта кристаллов сахара и формулы

Основная идея — вычислить объём одной частички в выбранной модели формы, умножить на плотность кристалла и получить массу одной крупинки, затем вычислить число:

Обозначения:

• M — общая масса (в граммах), для задачи M = 5000 г;
• ρ — плотность кристалла (г/см³), берём ρ = 1.5915 г/см³;
• D — характерный размер (мм), D_cm = D / 10 (см);
• V — объём одной частицы (см³);
• m — масса одной частицы (г);
• N — число частиц.

Примеры формул (семплы моделей):

Шар (удобная аппроксимация):

$$V_\text{шар}=\frac{\pi}{6}D^3,\quad D\ \text{в см}$$

$$m=\rho V_\text{шар},\qquad N=\frac{M}{m}$$

Эллипсоид (полезно для вытянутых кристаллов; если полные оси A, B, C в см):

$$V_\text{эллипсоид}=\frac{\pi}{6}ABC$$

Параллелепипед / призма (упрощённо):

$$V_\text{паралл.}=A\cdot B\cdot C$$

Для практики: обычно задают D в мм, поэтому перед подстановкой нужно D_cm = D_{мм}/10.

Зависимости:

• Так как $V\sim D^3$ и $m\sim D^3$, то

$$N\propto \frac{1}{D^3}.$$

Малые изменения размера дают большие изменения числа (приблизительно δN/N ≈ −3·δD/D).

Связь насыпной и кристаллической плотности:

• Насыпная плотность ρ_bulk и плотность кристалла ρ связаны долей заполнения (packing fraction) φ:

$$\varphi=\frac{V_\text{твёрд}}{V_\text{bulk}}=\frac{\rho_\text{bulk}}{\rho}$$

Это удобно для контрольной проверки: по ρ_bulk из таблицы и ρ кристалла можно оценить φ.

Пример расчёта для 5 кг сахарного песка (несколько размеров)

Ниже — расчёт для моделей «шар» и плотности ρ = 1,5915 г/см³. Перевод: D (мм) → D_cm = D/10.

Формулы подстановки:

$$V=\frac{\pi}{6}D_\text{см}^3,\quad m=\rho V,\quad N=\frac{5000}{m}.$$

Таблица примеров (округлено):

Пояснения:

• Для D = 0,63 мм получаем примерно 24 млн кристаллов в 5 кг при шаровой аппроксимации. Для D = 0,8 мм — ≈11,7 млн. Разница объясняется кубической зависимостью от размера.
• Если модель формы менять (эллипсоид с осями 1,285:1:0,895 или параллелепипед), объём одной частицы изменится — типично на фактор ~0.5–2 по сравнению с шаром, то есть число частиц изменится в противоположную сторону.

Контроль с насыпной плотностью:

• Для фракции 0,63–0,8 мм насыпная плотность может быть ≈ 762–867 кг/м³ (см. таблицу), что даёт φ = ρ_bulk/ρ_crystal ≈ 0,48–0,54. По этой φ можно проверить расчёт объёма твёрдого вещества: объём твёрдого вещества = M / ρ_crystal (см. модель mass-based), а общий объём материала с пустотами = M / ρ_bulk. Эти два значения соотносятся как φ.

(Ссылки на таблицы насыпной плотности: chemanalytica, обзор thermalinfo.ru.)

Влияние влажности, пустот и фракционного состава

• Влажность. По ГОСТ влажность белого сахара мала (порядка 0,1–0,2 %), следовательно прямая поправка на массу от влаги обычно несущественна для грубых оценок (см. ГОСТ 33222-2015). Но влажность влияет на слёживание: слипшиеся агрегаты ведут к тому, что «одна крупинка» в расчёте превращается в агломерат — и ручной счёт даёт искажение.
• Пустоты (packing). Насыпная плотность учитывает пустоты между кристаллами; φ = ρ_bulk/ρ_crystal для реальной фракции обычно 0,45–0,60. Для проверки расчёта удобно сопоставить объём твёрдой фазы (M/ρ_crystal) и объём с пустотами (M/ρ_bulk).
• Полидисперсность. В бытовом сахаре есть смесь мелких и крупных фракций. Если вы хотите точный подсчёт, разделите сырьё на фракции ситами и посчитайте число в каждой фракции отдельно. Ошибка при смешении размеров может достигать десятков процентов.

Правило оценки погрешности: если ошибка в определении D составляет ε (например, ±10%), то примерная относительная ошибка в N будет ≈ 3·ε (т.е. ±30% при ±10% по D), потому что N∝D^{-3}.

Практическая методика: как проверить опытно и уменьшить погрешность

1. Просейте сахар (если возможно) на сита, выделите фракцию, которая вас интересует (например, 0,63–0,8 мм). Это снимает проблему полидисперсности.
2. Возьмите от этой фракции несколько порций малого веса для измерения средней массы крупинки: удобный пример — 10 г или 1 г, в зависимости от целесообразности.
   • Метод «взвесить и посчитать»: из 10 г вручную отсчитайте n частиц (можно с помощью пинцета/лупы), затем m_avg = 10 г / n; итоговое число в 5 кг: N = 5000 / m_avg. Для мелких частиц отсчёт вручную трудоёмок — вместо этого используйте метод 3.
3. Метод «счёт по объёму» (быстрее для мелких частиц): заполните мерный цилиндр (например, 10 мл) сухой фракцией, взвесьте массу содержимого; зная насыпную плотность этой фракции и предполагаемый объём одной частицы (из измерений/фото), оцените N через φ·V_bulk/V_part. Для корректировки используйте φ = ρ_bulk/ρ_crystal.
4. Фотометрический метод: сфотографируйте ровную тонкую прослойку частиц со шкалой, автоматом (или вручную) подсчитайте число частиц в кадре, измерьте массу той же порции и получите среднюю массу одной частицы. Этот способ удобен, если есть камера и базовые навыки обработки изображений.
5. Документируйте влажность и температуру; при необходимости подсушите пробу для исключения влияния влаги на слипание.

Пример практического расчёта (быстро):

• Просеяли, взяли 10 г фракции 0,8 мм, пересчитали n = 23 500 частиц в этой пробе (посредством фотографий/счёта). Тогда m_avg = 10 / 23500 = 0,0004255 г. Тогда N для 5 кг: 5000 / 0,0004255 ≈ 11,75·10^6 — очень близко к теоретическому значению, вычисленному через модель шара.

Источники

• http://docs.cntd.ru/document/1200123909
• https://www.sugar.ru/node/988
• https://ru.wikipedia.org/wiki/Сахарный_песок
• http://chemanalytica.com/book/novyy_spravochnik_khimika_i_tekhnologa/06_syre_i_produkty_promyshlennosti_organicheskikh_i_neorganicheskikh_veshchestv_chast_II/5356
• http://thermalinfo.ru/svojstva-produktov/kulinariya-i-hleb/svojstva-sahara-plotnost-i-temperatura-plavleniya-sahara
• https://agro-portal24.ru/tehnologiya-sahara/6890-forma-kristallov-saharozy.html
• http://pomol.club.com.ua/blog/?p=6180

Заключение

Сколько кристаллов сахара в 5 кг? Ответ зависит от допущений о размере и форме кристаллов: при моделировании кристалла как шара и плотности сахарозы ≈1,5915 г/см³ для типичных фракций 0,63–0,8 мм число гранул в 5 кг даёт ориентир ~1,17·10^7–2,41·10^7 (≈11,7–24,1 млн). Для очень мелких частиц (0,25 мм) число поднимется до сотен миллионов; для крупных (1,5 мм) — упадёт до миллионов. Чтобы получить более точную оценку для вашей партии сахарного песка, выделите фракции ситом и измерьте среднюю массу крупинки экспериментально (взвешивание + счёт) — это снизит погрешность в разы.