Среднеквадратичная скорость молекул азота при 37,5 кПа

Среднеквадратичная скорость молекул азота при давлении 37,5 кПа не может быть определена однозначно без указания температуры, так как в молекулярно-кинетической теории газов давление связано не только со скоростью молекул, но и с их концентрацией и массой. Для решения задачи по расчету среднеквадратичной скорости молекул азота необходимо использовать формулу v_кв = √(3RT/M), где важна температура газа, а не только давление. В стандартных условиях при комнатной температуре (298 К) среднеквадратичная скорость молекул азота составляет примерно 515-517 м/с, но для точного расчета при заданном давлении требуется дополнительная информация о температуре газа.

---

Содержание

• Формула среднеквадратичной скорости молекул газа
• Особенности расчета для азота
• Влияние давления на скорость молекул
• Анализ задачи: среднеквадратичная скорость азота при давлении 37,5 кПа
• Источники
• Заключение

---

Формула среднеквадратичной скорости молекул газа

Среднеквадратичная скорость молекул газа является одним из фундаментальных понятий молекулярно-кинетической теории, характеризующим интенсивность теплового движения частиц. Эта величина напрямую связана с температурой газа и массой молекул, а также играет ключевую роль в объяснении многих газовых явлений и процессов.

Основная формула для расчета среднеквадратичной скорости молекул газа выглядит следующим образом:

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$$

где:

• $k$ - постоянная Больцмана ($1,38 \times 10^{-23}$ Дж/К),
• $T$ - абсолютная температура газа (в Кельвинах),
• $m_0$ - масса одной молекулы газа,
• $R$ - универсальная газовая постоянная ($8,31$ Дж/(моль·К)),
• $M$ - молярная масса газа (кг/моль).

Из этой формулы следует важный вывод: среднеквадратичная скорость молекул газа зависит только от температуры и молярной массы, но не зависит от давления газа при постоянной температуре. Это противоречит интуитивному представлению о том, что давление должно влиять на скорость молекул, но объясняется тем, что при изменении давления при постоянной температуре изменяется только концентрация молекул, а не их кинетическая энергия.

В молекулярно-кинетической теории существует также связь между давлением газа и скоростью молекул:

$$p = \frac{1}{3}nm_0v_{кв}^2$$

где $n$ - концентрация молекул (число молекул в единице объема). Эта формула показывает, что давление зависит от концентрации молекул и квадрата их среднеквадратичной скорости, что необходимо учитывать при анализе различных газовых процессов.

---

Особенности расчета для азота

При расчете среднеквадратичной скорости молекул азота необходимо учитывать его физические и химические свойства, а также особенности его поведения как диатомического газа. Азот (N₂) составляет около 78% атмосферного воздуха и является одним из наиболее важных газов как в природе, так и в промышленных процессах.

Молярная масса азота составляет $M = 28 \times 10^{-3}$ кг/моль, что является важным параметром при расчете его среднеквадратичной скорости. Для сравнения, молекулы кислорода (O₂) имеют молярную массу $M = 32 \times 10^{-3}$ кг/моль, поэтому при одинаковой температуре их среднеквадратичная скорость будет ниже, чем у азота.

При стандартных условиях (температура 298 К или 25°C) среднеквадратичная скорость молекул азота составляет:

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 298}{28 \times 10^{-3}}} \approx 515,2 \text{ м/с}$$

Эта скорость соответствует примерно 1855 км/ч, что значительно превышает скорость звука в воздухе при комнатной температуре (около 343 м/с). Такое большое различие объясняется тем, что скорость звука зависит не только от скорости молекул, но и от упругих свойств среды и механизма распространения звуковых волн.

Для азота существуют две другие важные характеристики скорости молекул: наиболее вероятная скорость $v_{в}$ и средняя арифметическая скорость $v_{ср}$:

• Наиболее вероятная скорость: $v_{в} = \sqrt{\frac{2RT}{M}}$
• Средняя арифметическая скорость: $v_{ср} = \sqrt{\frac{8RT}{\pi M}}$

При температуре 298 К для азота:

• $v_{в} \approx 421,5$ м/с
• $v_{ср} \approx 474,8$ м/с

Соотношение этих скоростей постоянно: $v_{в} : v_{ср} : v_{кв} = 1 : 1,128 : 1,224$, что справедливо для идеального газа независимо от его природы.

---

Влияние давления на скорость молекул

В отличие от распространенного заблуждения, давление газа не влияет на среднеквадратичную скорость молекул при постоянной температуре. Это важнейший принцип молекулярно-кинетической теории, который часто вызывает трудности у студентов при решении задач.

Когда мы говорим о давлении газа, мы имеем в виду силу, с которой молекулы газа действуют на единицу площади поверхности. Давление определяется уравнением:

$$p = \frac{1}{3}nm_0v_{кв}^2$$

Из этого уравнения видно, что давление зависит от:

• концентрации молекул ($n$) - количества молекул в единице объема,
• массы молекул ($m_0$),
• среднеквадратичной скорости молекул ($v_{кв}$).

Если мы изменяем давление газа, сохраняя температуру постоянной, то изменяется только концентрация молекул $n$. При увеличении давления (например, путем сжатия газа) концентрация молекул увеличивается, но их среднеквадратичная скорость остается неизменной, так как она определяется температурой.

Это может показаться нелогичным, если представлять себе молекулы как шарики, сталкивающиеся со стенками. Однако на самом деле средняя кинетическая энергия молекул $\langle E_k \rangle = \frac{3}{2}kT$ зависит только от температуры. При постоянной температуре молекулы сохраняют свою кинетическую энергию, а значит, и среднеквадратичную скорость, независимо от того, сжат газ или разрежен.

Например, если мы возьмем объем азота при давлении 37,5 кПа и температуре 298 К и сжмем его вдвое, давление увеличится до 75 кПа, но среднеквадратичная скорость молекул останется прежней - около 515 м/с. Изменится только количество столкновений молекул со стенками в единицу времени, что и приведет к увеличению давления.

Это свойство газов используется во многих технических устройствах, таких как компрессоры и вакуумные насосы, где изменение давления достигается изменением объема газа без изменения его температуры (в идеальном случае).

---

Анализ задачи: среднеквадратичная скорость азота при давлении 37,5 кПа

Теперь вернемся к исходной задаче: определение среднеквадратичной скорости молекул азота при давлении 37,5 кПа. Как следует из предыдущего анализа, задача поставлена неполностью, так как для расчета среднеквадратичной скорости требуется знать температуру газа, а не только давление.

Давление 37,5 кПа составляет примерно 0,37 атмосферного давления (поскольку стандартное атмосферное давление равно 101,3 кПа). Однако это значение само по себе не дает информации о температуре газа.

Для решения задачи необходимо одно из следующих условий:

1. Указание температуры газа
2. Указание объема газа и количества вещества
3. Другие параметры, которые позволяют определить температуру

Если предположить, что задача подразумевает стандартную температуру (298 К), то расчет будет следующим:

1. Молярная масса азота: $M = 28 \times 10^{-3}$ кг/моль
2. Температура: $T = 298$ К
3. Универсальная газовая постоянная: $R = 8,31$ Дж/(моль·К)

Среднеквадратичная скорость:

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 298}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7421,34}{0,028}} = \sqrt{265047,857} \approx 515 \text{ м/с}$$

Однако это значение будет справедливо только при температуре 298 К. При другой температуре среднеквадратичная скорость изменится пропорционально корню квадратному из отношения температур.

Для анализа задачи с заданным давлением можно использовать уравнение состояния идеального газа:

$$pV = \frac{m}{M}RT$$

где $p$ - давление, $V$ - объем, $m$ - масса газа, $M$ - молярная масса, $R$ - универсальная газовая постоянная, $T$ - температура.

Из этого уравнения можно выразить концентрацию молекул:

$$n = \frac{N}{V} = \frac{p}{kT}$$

где $N$ - число молекул в объеме $V$, $k$ - постоянная Больцмана.

Подставляя выражение для концентрации в уравнение для давления:

$$p = \frac{1}{3}nm_0v_{кв}^2 = \frac{1}{3}\frac{p}{kT}m_0v_{кв}^2$$

После сокращения $p$ с обеих сторон получаем:

$$1 = \frac{1}{3}\frac{m_0}{kT}v_{кв}^2$$

Откуда следует:

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3kT}{m_0}}$$

Это подтверждает, что среднеквадратичная скорость зависит только от температуры и массы молекул, но не зависит от давления.

Таким образом, для решения исходной задачи необходимо знать температуру газа. Если бы в условии была указана температура, например, $T = 300$ К, то расчет был бы следующим:

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 300}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{7479}{0,028}} = \sqrt{267107,143} \approx 517 \text{ м/с}$$

При температуре $T = 273$ К (0°C):

$$v_{кв} = \sqrt{\frac{3 \times 8,31 \times 273}{28 \times 10^{-3}}} = \sqrt{\frac{6802,29}{0,028}} = \sqrt{242,939} \approx 493 \text{ м/с}$$

Как видно из примеров, даже небольшие изменения температуры приводят к заметным изменениям среднеквадратичной скорости молекул.

---

Источники

1. Формула среднеквадратичной скорости молекул — Вывод формулы и теоретическая основа молекулярно-кинетической теории: http://www.gubkin.ru/faculty/oil_and_gas_development/chairs_and_departments/physics/files/docs/7MOLEC.pdf

2. Концептуальные основы молекулярной физики — Объяснение связи между давлением и скоростью молекул, примеры расчетов: https://online.mephi.ru/courses/physics/molecular_physics/data/course/3/3.3.1.html

3. Средняя скорость молекул и ее применение — Альтернативные формулы и практическое применение расчетов: https://zaochnik-com.com/spravochnik/fizika/molekuljarno-kineticheskaja-teorija/srednjaja-skorost-molekul/

4. Практический пример расчета для азота — Пошаговый расчет среднеквадратичной скорости для азота при различных температурах: https://easyfizika.ru/zadachi/molekulyarnaya-fizika/opredelit-srednyuyu-kvadratichuyu-skorost-molekul-azota-pri-temperature/

5. Анализ сложных задач по молекулярной физике — Примеры задач с азотом при заданных параметрах: http://fumo.phys.msu.ru/ArxivOldSite_UMS_Physics/usu/task/m_mol.htm

6. Уточнение распространенных заблуждений — Подробное объяснение, почему давление не влияет на скорость молекул при постоянной температуре: https://www.napishem.ru/spravochnik/fizika/molekulyarno-kineticheskaya-teoriya/srednyaya-skorost-molekul.html

---

Заключение

Среднеквадратичная скорость молекул азота при давлении 37,5 кПа не может быть определена без знания температуры газа, так как в молекулярно-кинетической теории газов эта величина зависит только от температуры и массы молекул, но не от давления. При стандартной комнатной температуре (298 К) среднеквадратичная скорость молекул азота составляет примерно 515-517 м/с, но при изменении температуры эта скорость пропорционально изменяется по закону $v_{кв} \propto \sqrt{T}$.

Для решения подобных задач необходимо:

1. Использовать правильную формулу среднеквадратичной скорости: $v_{кв} = \sqrt{\frac{3RT}{M}}$
2. Учитывать молярную массу азота ($M = 28 \times 10^{-3}$ кг/моль)
3. Знать или определить температуру газа
4. Понимать, что давление влияет только на концентрацию молекул, но не на их кинетическую энергию при постоянной температуре

Важно помнить, что среднеквадратичная скорость отличается от наиболее вероятной и средней арифметической скоростей, хотя все они связаны пропорционально и зависят только от температуры и молярной массы газа. Для решения задач по молекулярной физике необходимо четко различать эти понятия и правильно применять соответствующие формулы.