Задачи на движение: скорость, время, расстояние

Два автомобиля одновременно выехали из одного города в другой. Скорость первого на 10 км/ч выше скорости второго, поэтому первый прибыл на 1 час раньше. Расстояние между городами 50 км. Найдите скорости первого и второго автомобилей.

Содержание

• Формулы для решения задач на движение
• Постановка задачи и анализ условия
• Алгоритм решения
• Пошаговое решение задачи
• Проверка решения
• Анализ возможных ошибок
• Аналогичные задачи для практики
• Заключение

Формулы для решения задач на движение

Основные формулы, используемые в задачах на движение, основаны на фундаментальной связи между расстоянием, скоростью и временем:

• Расстояние = Скорость × Время (s = v × t)
• Скорость = Расстояние / Время (v = s / t)
• Время = Расстояние / Скорость (t = s / v)

В задачах с двумя объектами, как в нашем случае, важна разница во времени прибытия. Официальная документация по решению задач на движение подчеркивает, что при решении таких задач необходимо выражать одну величину через другую и составлять уравнение на основе условия задачи.

Постановка задачи и анализ условия

Давайте проанализируем условие задачи:

1. Два автомобиля одновременно выехали из одного города в другой
2. Скорость первого автомобиля на 10 км/ч выше скорости второго
3. Первый автомобиль прибыл на 1 час раньше второго
4. Расстояние между городами составляет 50 км
5. Требуется найти скорости обоих автомобилей

Для решения задач важно правильно обозначить неизвестные величины. Согласно методике решения задач на движение, наиболее удобно обозначать через переменную ту величину, которая связана с другими условиями задачи.

Алгоритм решения

Решение задачи на движение с двумя автомобилями можно представить в виде следующих шагов:

1. Обозначить скорость одного из автомобилей через переменную (например, v)
2. Выразить скорость второго автомобиля через ту же переменную с учетом условия
3. Выразить время движения каждого автомобиля через расстояние и скорость
4. Составить уравнение на основе условия о разнице во времени прибытия
5. Решить полученное уравнение
6. Найти обе скорости
7. Проверить решение

Пошаговое решение задачи

Давайте применим этот алгоритм к нашей задаче:

Шаг 1: Обозначение неизвестных

Пусть скорость второго автомобиля равна v км/ч. Тогда скорость первого автомобиля будет v + 10 км/ч (так как она на 10 км/ч выше).

Шаг 2: Выражение времени движения

Время движения второго автомобиля:
t₂ = расстояние / скорость = 50/v часов

Время движения первого автомобиля:
t₁ = расстояние / скорость = 50/(v + 10) часов

Шаг 3: Составление уравнения

По условию, первый автомобиль прибыл на 1 час раньше, чем второй. Это означает, что время движения второго автомобиля больше времени движения первого автомобиля на 1 час:

t₂ = t₁ + 1

Подставляем выражения для времени:

50/v = 50/(v + 10) + 1

Шаг 4: Решение уравнения

Теперь решим полученное уравнение:

50/v = 50/(v + 10) + 1

Умножим обе части уравнения на v(v + 10) - общий знаменатель:

50(v + 10) = 50v + v(v + 10)

Раскроем скобки:

50v + 500 = 50v + v² + 10v

Упростим уравнение:

500 = v² + 10v

Перенесем все в одну сторону:

v² + 10v - 500 = 0

Это квадратное уравнение. Решим его по формуле корней квадратного уравнения ax² + bx + c = 0:

v = [-b ± √(b² - 4ac)] / (2a)

Где a = 1, b = 10, c = -500:

v = [-10 ± √(10² - 4 × 1 × (-500))] / (2 × 1)
v = [-10 ± √(100 + 2000)] / 2
v = [-10 ± √2100] / 2
v = [-10 ± 45.83] / 2

Получаем два корня:
v₁ = (-10 + 45.83) / 2 = 35.83 / 2 = 17.915
v₂ = (-10 - 45.83) / 2 = -55.83 / 2 = -27.915

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем второй корень. Таким образом, скорость второго автомобиля примерно равна 17.915 км/ч.

Шаг 5: Нахождение скорости первого автомобиля

Скорость первого автомобиля:
v₁ = v + 10 = 17.915 + 10 = 27.915 км/ч

Проверка решения

Давайте проверим, действительно ли с этими скоростями первый автомобиль прибывает на 1 час раньше второго.

Время движения второго автомобиля:
t₂ = 50 / 17.915 ≈ 2.79 часа

Время движения первого автомобиля:
t₁ = 50 / 27.915 ≈ 1.79 часа

Разница во времени:
t₂ - t₁ = 2.79 - 1.79 = 1 час

Условие задачи выполняется: первый автомобиль действительно прибыл на 1 час раньше второго.

Анализ возможных ошибок

При решении задач на движение с двумя объектами часто допускаются следующие ошибки:

1. Неверное обозначение неизвестных. Некоторые ученики пытаются обозначить скорость первого автомобиля как v, а второго как v - 10. Хотя это допустимо, в данном случае удобнее обозначать скорость более медленного автомобиля, чтобы избежать отрицательных значений.

2. Ошибка в уравнении временных соотношений. Важно правильно составить уравнение на основе условия о разнице во времени. В нашей задаче первый автомобиль прибыл раньше, поэтому второй затратил больше времени.

3. Математические ошибки при решении уравнений. При умножении на общий знаменатель и упрощении выражений легко допустить арифметические ошибки.

4. Игнорирование физического смысла решения. Скорость не может быть отрицательной, поэтому второй корень квадратного уравнения следует отбросить.

Руководство по решению задач на движение подробно освещает типичные ошибки и методы их избегания.

Аналогичные задачи для практики

Для закрепления навыков решения подобных задач предлагаем несколько аналогичных примеров:

Задача 1: Два велосипедиста выехали одновременно из одного пункта в другой. Скорость первого велосипедиста на 5 км/ч больше скорости второго. Первый велосипедист прибыл в пункт назначения на 40 минут раньше, чем второй. Найти скорости велосипедистов, если расстояние между пунктами составляет 20 км.

Задача 2: Две лодки одновременно вышли из одного пункта в другой. Скорость первой лодки на 3 км/ч больше скорости второй. Первая лодка прибыла в пункт назначения на 1 час 20 минут раньше второй. Найдите скорости лодок, если расстояние между пунктами составляет 60 км.

Задача 3: Два поезда отправились одновременно из одного города в другой. Скорость первого поезда на 15 км/ч больше скорости второго. Первый поезд прибыл в пункт назначения на 2 часа раньше второго. Найдите скорости поездов, если расстояние между городами составляет 300 км.

Заключение

Решение задач на движение с двумя объектами требует понимания фундаментальных формул связи между скоростью, временем и расстоянием, а также умения составлять и решать уравнения на основе условия задачи. В нашем случае мы нашли, что скорость второго автомобиля составляет примерно 17.92 км/ч, а скорость первого автомобиля - примерно 27.92 км/ч.

При решении подобных задач важно:

• Правильно обозначать неизвестные
• Выражать все величины через одну переменную
• Точно составлять уравнение на основе условия
• Проверять полученное решение на соответствие физическому смыслу

Освоение этих методов решения поможет вам успешно справляться с широким классом задач на движение, включая более сложные варианты с несколькими объектами и различными условиями движения.

Источники

1. Задачи на движение - Образовательный портал YouClever
2. Задачи на движение 4-5 класс: скорость, время и расстояние - Мой Альфа
3. Задачи на движение: формулы и примеры решения - SkySmart