Решение: какой процент первоклассников — мальчики?

В этой задаче по математике о первоклассниках на линейке 1 сентября выясняется, что процент мальчиков среди всех составляет 20%. Почему так? Потому что 20% мальчиков в парах с мальчиками подразумевают, что остальные 80% мальчиков спарены с девочками, а 80% девочек — с девочками, что оставляет 20% девочек для смешанных пар. Это приводит к простому уравнению, где девочек ровно в 4 раза больше мальчиков.

---

Содержание

• [Условие задачи {#problem-statement}]
• [Обозначения и логика пар {#designations}]
• [Составление уравнения {#equation}]
• [Решение и ответ {#solution}]
• [Проверка расчётов {#verification}]
• [Типичные ошибки в подобных процентных задачах {#common-mistakes}]
• [Источники {#sources}]
• [Заключение {#conclusion}]

---

Условие задачи

Представьте: торжественная линейка 1 сентября, первоклассники выстроились парами. Условие простое, но хитрое: 20% мальчиков стоят в паре с другим мальчиком, а 80% девочек — с другой девочкой. Вопрос: какой процент всех первоклассников составляют мальчики?

Такие задачи по математике на процентные задачи часто встречаются в 5–6 классах или даже на подготовке к ЕГЭ. Они проверяют не только арифметику, но и умение моделировать реальную ситуацию. PedSovet приводит похожий пример, а Resolventa даёт точное решение. Главное — понять, что все первоклассники распределены по парам без остатка, то есть общее число чётное.

Но подождите, а что с остальными? Ведь если мальчики парятся между собой частично, то остальные должны быть в смешанных парах. То же и с девочками. Это ключ к разгадке.

---

Обозначения и логика пар

Давайте введём переменные, чтобы не запутаться. Пусть:

• $B$ — число мальчиков,
• $G$ — число девочек.

Общее число первоклассников $N = B + G$. Все стоят в парах, так что пар всего $N/2$.

Теперь разберём по типам пар:

1. Пары мальчик-мальчик (ММ): 20% мальчиков в таких парах, то есть $0.2B$ мальчиков. Поскольку пара — это двое, число таких пар: $\frac{0.2B}{2} = 0.1B$.

2. Следовательно, оставшиеся 80% мальчиков ($0.8B$) стоят в смешанных парах (мальчик-девочка, МД).

Аналогично для девочек:

3. Пары девочка-девочка (ДД): 80% девочек ($0.8G$), число пар: $\frac{0.8G}{2} = 0.4G$.

4. Оставшиеся 20% девочек ($0.2G$) — в смешанных парах (МД).

Вот где магия: в смешанных парах число мальчиков равно числу девочек! Иначе кто-то остался бы без пары.

Skysmart советует всегда рисовать такую схему — это упрощает процентные задачи.

---

Составление уравнения

Из смешанных пар следует равенство:

$$0.8B = 0.2G$$

Почему? Потому что $0.8B$ мальчиков ищут пару среди $0.2G$ девочек.

Упростим:

$$0.8B = 0.2G \implies G = \frac{0.8}{0.2} B = 4B$$

Теперь общее:

$$N = B + G = B + 4B = 5B$$

Процент мальчиков:

$$\frac{B}{N} \times 100\% = \frac{B}{5B} \times 100\% = 20\%$$

Красота! Resolventa описывает именно этот подход для задач на смеси и проценты — он универсален.

Можно проверить общее число пар: ММ + ДД + МД = $0.1B + 0.4G + 0.8B$ (число МД пар, ведь каждая смешанная пара — одна).

Подставим $G=4B$: $0.1B + 0.4(4B) + 0.8B / 2? Нет, число МД пар = 0.8B (поскольку каждый МД — один парень из 0.8B).

Число пар МД = 0.8B (количество таких пар равно числу таких мальчиков, так как один на пару).

Общее пар: $0.1B + 0.4G + 0.8B? Нет:

• Пар ММ: 0.1B

• Пар ДД: 0.4G = 1.6B

• Пар МД: 0.8B (число пар = число мальчиков в них, т.к. по одному на пару)

Итого пар: 0.1B + 1.6B + 0.8B = 2.5B

А N/2 = 5B / 2 = 2.5B. Совпадает!

---

Решение и ответ

Итак, ответ: мальчики составляют 20% от всех первоклассников.

Если взять конкретные числа для наглядности — пусть $B=10$ мальчиков. Тогда ММ: 2 мальчика (1 пара), МД: 8 мальчиков.

G=40 девочек. ДД: 32 девочки (16 пар), МД: 8 девочек.

Общее N=50, пар=25: 1 ММ + 16 ДД + 8 МД=25. Идеально.

Tetrika рекомендует такую проверку числами — она спасает от ошибок в задачах по математике.

---

Проверка расчётов

А что если общее число нечётное? Нет, поскольку пары, оно чётное, и наши пропорции дают целые числа при подходящем B (кратно 5, например).

OnlineMSchool использует пропорции: процент как дробь, и здесь 80%/20%=4, что даёт соотношение G:B=4:1.

Всё сходится. А вы пробовали решить без алгебры, чисто логикой? 80% мальчиков = 20% девочек по смешанным — сразу видно перевес девочек.

---

Типичные ошибки в подобных процентных задачах

Часто ошибаются, забывая смешанные пары. Например, PedSovet в одном примере приравнял только ММ + ДД к общему числу пар, игнорируя МД, и получил 100% мальчиков. Но это неверно — пары МД “съедают” мальчиков и девочек поровну.

Другая ловушка: думать, что 20% мальчиков — это пары от общего. Нет, проценты от своей группы.

SpaceMath предупреждает: всегда переводите проценты в дроби и считайте по группам. В процентных задачах про первоклассников или смеси это спасает.

Ещё: не путайте “процент от своей группы” с общим. Здесь именно от своей.

---

Источники

1. PedSovet: Решение задач на проценты
2. Resolventa: Задачи на смеси и проценты
3. SpaceMath: Задачи на проценты
4. Skysmart: Как решать задачи с процентами
5. Tetrika: Задачи с процентами
6. OnlineMSchool: Метод решения задач с процентами

---

Заключение

В задаче по математике про первоклассников на линейке 1 сентября мальчики — это 20% от всех. Ключ — баланс в смешанных парах, где 80% мальчиков уравновешивают 20% девочек. Теперь вы можете решать похожие процентные задачи уверенно: вводите переменные, рисуйте пары, проверяйте числами. Попробуйте сами с другими процентами — например, если 10% мальчиков в ММ? Удачи в задачах по математике!