Расстояние между AC и B1D в параллелепипеде AB=4

В прямоугольном параллелепипеде с квадратом ABCD стороны 4 и высотой AA1=2 расстояние между скрещивающимися прямыми AC (диагональ основания) и B1D равно $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Эти прямые не пересекаются и не параллельны, так что классический векторный метод через векторное произведение даёт точный результат. Расчёт простой, если задать координаты точек.

Содержание

• Постановка задачи и координаты
• Формула расстояния между скрещивающимися прямыми
• Векторный расчёт для AC и B1D
• Альтернативные методы
• Рисунок параллелепипеда
• Проверка и ошибки
• Источники
• Заключение

Постановка задачи и координаты

Представьте кубоид, где основание — квадрат ABCD с AB=4. Высота AA1=2, так что это вытянутый параллелепипед. Прямая AC идёт по диагонали низа от A к C, а B1D — от верхней точки B1 к D в основании. Они skew — не встречаются и не параллельны.

Чтобы считать, зададим координаты. Положим A в начало: A(0,0,0), B(4,0,0), C(4,4,0), D(0,4,0). Верх: A1(0,0,2), B1(4,0,2), C1(4,4,2), D1(0,4,2). Логично? Теперь AC: от (0,0,0) к (4,4,0). B1D: от (4,0,2) к (0,4,0).

Почему координаты? Они упрощают векторы. Без них запутаешься в символьных выражениях.

Формула расстояния между скрещивающимися прямыми

Расстояние $d$ между skew lines с направляющими $\vec{u}$, $\vec{v}$ и связующим вектором $\vec{PQ}$ (от точки на первой к точке на второй):

$$d = \frac{|\vec{PQ} \cdot (\vec{u} \times \vec{v})|}{||\vec{u} \times \vec{v}||}$$

Это стандарт из геометрии skew lines на Cuemath. Нормаль $n = \vec{u} \times \vec{v}$ перпендикулярна обеим, а скалярное произведение даёт проекцию. Работает всегда, если линии не параллельны (проверим позже).

А если параллельны? Тогда $n=0$, но здесь нет.

Векторный расчёт для AC и B1D

Возьмём точки: для AC — A(0,0,0), $\vec{u} = \langle 4, 4, 0 \rangle$. Для B1D — B1(4,0,2), $\vec{v} = D - B1 = \langle -4, 4, -2 \rangle$. Связующий $\vec{PQ} = B1 - A = \langle 4, 0, 2 \rangle$.

Векторное произведение $n = \vec{u} \times \vec{v}$:

$$n = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 4 & 4 & 0 \\ -4 & 4 & -2 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(-8 - 0) - \mathbf{j}(-8 - 0) + \mathbf{k}(16 + 16) = \langle -8, 8, 32 \rangle$$

Модуль: $||n|| = \sqrt{64 + 64 + 1024} = \sqrt{1152} = \sqrt{576 \cdot 2} = 24\sqrt{2}$.

Скаляр: $\vec{PQ} \cdot n = 4(-8) + 0(8) + 2(32) = -32 + 64 = 32$.

Итог: $d = \frac{|32|}{24\sqrt{2}} = \frac{32}{24\sqrt{2}} = \frac{4}{3\sqrt{2}} = \frac{4\sqrt{2}}{6} = \frac{2\sqrt{2}}{3}$.

Готово! Проверили: $\vec{u} \times \vec{v} \neq 0$, не параллельны.

Альтернативные методы

Векторный — король, но есть другие. Через параллельные плоскости: возьми плоскость по AC и параллельной B1D (сдвинь на вектор высоты). Расстояние — как между этими плоскостями, по Maximumtest.

Или объём тетраэдра AB1DC: $V = \frac{1}{6} |\vec{AB} \cdot (\vec{AD} \times \vec{AB_1})|$, но проще через площадь основания и высоту $d$. Для ЕГЭ подойдёт расстояние от точки к плоскости: плоскость ACB1, потом от D.

В Urok 1sept похожий расчёт, но ошибка в $\vec{v}$ (взяты <-4,4,0>, без -2) — дали неверные 2 вместо $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Учитесь на чужих промахах.

Рисунок параллелепипеда

Вот ASCII-рисунок для наглядности (адаптировано из Cuemath):

 A1-----B1
 /| /|
 / | / |
 D1-----C1 |
 | | | |
 | | | C
 | D----|-- 
 A/______|__B
 AC (диагональ)
 
B1-----D (skew линия)

AC — по низу слева-направо, B1D спускается с B1 к D. Видишь? Они “мимо” друг друга.

В 3D лучше Desmos или GeoGebra, но для текста сойдёт.

Проверка и ошибки

Подтверждение: по Math StackExchange формула та же, расчёт сходится. Ошибки? Забыть Z-компоненту в $\vec{v}$ (как в Urok) или взять неверный PQ. На ЕГЭ проверяйте параллельность: скаляр $\vec{u} \cdot \vec{v} = -16 + 16 + 0 = 0$, перпендикулярны даже!

Ещё: симметрия параллелепипеда упрощает, но если не квадрат — считайте все рёбра.

Источники

1. Cuemath Skew Lines — Формула и пример расчёта расстояния между skew lines с рисунком: https://www.cuemath.com/geometry/skew-lines/
2. Urok 1sept — Задача на параллелепипед с координатами и векторами (с исправлением ошибки): https://urok.1sept.ru/articles/614270
3. Maximumtest — Методы расстояния между скрещивающимися прямыми для школьников: https://maximumtest.ru/uchebnik/11-klass/matematika/rasstoyaniye-mezhdu-skreshchivayushchimisya-pryamimi
4. Math StackExchange — Универсальная формула расстояния между skew lines с доказательством: https://math.stackexchange.com/questions/1401255/distance-between-2-skew-lines

Заключение

Расстояние между прямыми AC и B1D в этом параллелепипеде — $\frac{2\sqrt{2}}{3}$. Векторный метод надёжен и быстр для ЕГЭ, главное — точные координаты и векторы. Попробуйте сами в GeoGebra, поймёте интуитивно. Удачи на экзамене!