На ЕГЭ: доказывать ли среднюю линию трапеции и диагональ?

На ЕГЭ по математике (профильный уровень) доказывать, что средняя линия трапеции делит её диагонали пополам, не требуется — это стандартное свойство трапеции из кодификатора ФИПИ (пункт 5.1.3). Вы можете смело использовать его в решении, без полного обоснования или ссылки на теорему Фалеса, если задача не требует явного доказательства. А вот в базовом ЕГЭ или олимпиадах иногда просят показать шаги через Фалеса, чтобы продемонстрировать понимание.

Содержание

• Что такое средняя линия трапеции
• Свойства средней линии и диагоналей трапеции
• Требования ЕГЭ к свойствам трапеции
• Теорема Фалеса: нужно ли её упоминать
• Примеры задач из ЕГЭ с средней линией
• Источники
• Заключение

---

Что такое средняя линия трапеции

Представьте трапецию ABCD с основаниями AD и BC (AD > BC). Средняя линия трапеции — это отрезок MN, соединяющий середины ненепараллельных боковых сторон AB и CD. По определению, её длина равна полу‑сумме оснований: $MN = \frac{AD + BC}{2}$.

Почему это важно? В задачах она упрощает расчёты — параллельна основаниям, делит высоту пополам. Но вы наверняка знаете это из школьной геометрии 8‑9 класса. А вот как она взаимодействует с диагоналями — вот где часто подвох в ЕГЭ.

В подготовительных материалах к ЕГЭ приводят пример: если PQ — средняя линия длиной 8, а MN соединяет середины диагоналей, то MN = 2 через средние линии треугольников. Просто и без лишних доказательств.

---

Свойства средней линии и диагоналей трапеции

Ключевой момент вашего вопроса: средняя линия трапеции делит диагонали пополам. Да, каждая диагональ (AC и BD) пересекает среднюю линию в её середине. Точка пересечения — середина как диагонали, так и средней линии? Нет, не совсем.

Диагональ делит среднюю линию на три отрезка: два крайних равны (половина меньшего основания), средний — половина разности оснований. Но для диагонали: средняя линия биссектрирует её.

Почему так? Из подобия треугольников или параллельности. В статье на Skysmart чётко: “Диагонали делят среднюю линию трапеции на три отрезка”. А в задачах это используют напрямую.

Но на ЕГЭ редко просят доказывать — просто применяйте. Представьте: трапеция с основаниями 10 и 4, средняя линия 7. Диагональ пересечёт её в точке, делящей диагональ 1:1.

Интересно, правда? Это экономит время в профиле.

---

Требования ЕГЭ к свойствам трапеции

В кодификаторе ФИПИ для ЕГЭ по математике (профиль) трапеция входит в тему “Планиметрия” (5.1). Свойства известны: сумма углов при основании 180°, равнобедренная — симметрична, средняя линия параллельна основаниям и равна их полу‑сумме.

Доказывать базовые свойства? Нет. В официальных задачах на SDAMGIA пишут: “Найдите больший из отрезков, на которые делит среднюю линию трапеции диагональ”. Решение: “Больший отрезок — средняя линия треугольника ADB, равна половине основания”. Без доказательств!

Баллы дают за правильный расчёт. Если задача №14‑16 (геометрия), то свойства трапеции — как аксиома. В базовом ЕГЭ (№20) иногда просят обосновать, но редко через диагонали.

А вы пробовали решать демо‑варианты? Там всё на доверии к свойствам.

---

Теорема Фалеса: нужно ли её упоминать

Вы правы: свойство следует из теоремы Фалеса о пропорциональных отрезках. Рассмотрим диагональ AC. Через середины боковых проводим параллель к основаниям — по Фалесу в треугольнике ABD точка M даёт равные отрезки.

В ответе на Uchi.ru доказывают именно так: “MQ || AD, следовательно BQ = QD”. Круто для понимания, но на ЕГЭ?

Обязательно ли указывать? Нет. Эксперты советуют: если задача не говорит “докажите”, пишите “по свойству трапеции средняя линия делит диагональ пополам”. Упоминание Фалеса — плюс для полноты, но не обязательно. В Mail.ru ответах подтверждают: “Конечно делит, по Фалесу в треугольнике”.

В олимпиадах или сложных №18 — да, покажите. Но ЕГЭ — на скорость.

---

Примеры задач из ЕГЭ с средней линией

Возьмём реальную: трапеция ABCD, AD=10, BC=4, средняя линия PQ=7. Диагональ AC пересекает PQ в N. Найти AN:NC.

Решение: AN=NC (свойство). Длина PN=2, NQ=5 (больший — половина AD/2? Подождите: края по 2 (BC/2), средний 3 ((10-4)/2).

Из Uznateshe : “FN=m, NK=n”. В ЕГЭ: больший отрезок =3.

Ещё: “Диагональ равна средней линии” — но это не свойство, задача на расчёт.

Практика: рисуйте, проверяйте координатами. (0,0),(10,0),(9,5),(1,5) — средняя (5,2.5), диагональ делит пополам.

Такие задачи — 1‑2 балла за минуту.

---

Источники

1. Трапеция: свойства, признаки, площадь — Материалы ЕГЭ с примерами средней линии и диагоналей: https://ege-study.ru/ru/ege/materialy/matematika/trapeciya-i-ee-svojstva/
2. 8 важных свойств трапеции — Формулы и свойства диагоналей относительно средней линии: https://skysmart.ru/articles/mathematic/trapeciya-formuly-i-svojstva
3. Докажите среднюю линию трапеции — Доказательство через теорему Фалеса: https://uchi.ru/otvety/questions/dokazhite-chto-srednyaya-liniya-trapetsii-delit-eyo-diagonali-popolam
4. ЕГЭ задача 27821 — Официальная задача ФИПИ с применением свойства без доказательства: https://ege.sdamgia.ru/problem?id=27821
5. Диагональ трапеции делит среднюю линию — Примеры расчётов отрезков на ЕГЭ: https://www.uznateshe.ru/diagonal-trapetsii-delit-srednyuyu-liniyu-na-otrezki/

---

Заключение

Итог: на ЕГЭ средняя линия трапеции и её эффект на диагонали — готовое свойство, доказывать не надо, Фалеса упоминать необязательно. Фокусируйтесь на расчётах, чтобы не тратить время. Практикуйтесь на демо — и 100 баллов по геометрии в кармане. Удачи на экзамене.