Геометрия 10 класс: отношение поверхностей и объёмов цилиндров

В геометрии 10 класс вращением прямоугольника ABCD вокруг стороны А (длина a) получается цилиндр с высотой $a$ и радиусом $b$, а вокруг стороны Б (длина b) — цилиндр с высотой $b$ и радиусом $a$. Боковые поверхности обоих цилиндров равны, отношение $S_1 : S_2 = 1 : 1$, поскольку формула $S = 2\pi r h$ даёт одинаковый результат $2\pi a b$. Отношение объёмов $V_1 : V_2 = b : a$, где $V = \pi r^2 h$, — это классическая задача стереометрии 10 класс из учебника Атанасян.

Содержание

• Геометрия 10 класс: постановка задачи
• ГДЗ по геометрии 10 класс Атанасян №546
• Рисунок: прямоугольник и цилиндры
• Боковая поверхность цилиндра: расчёт и равенство
• Объём цилиндра: отношение для двух случаев
• Источники
• Заключение

Геометрия 10 класс: постановка задачи

Представьте прямоугольник ABCD. Сторона А — это AB длиной $a$, сторона Б — BC длиной $b$. В стереометрии 10 класс тела вращения возникают, когда фигуру крутят вокруг оси. Первый цилиндр: вращаем вокруг AB (ось А). Точки C и D описывают окружности радиусом $b$ (расстояние от оси). Высота цилиндра — $a$.

Второй вариант: вращение вокруг BC (ось Б). Теперь точки A и D улетают на радиус $a$, высота — $b$. Задача простая, но хитрая — найти отношение боковых поверхностей и объёмов. А что если взять конкретные числа? Пусть $a=3$, $b=4$. Уже потом проверим.

Это №546 из Атанасяна, часто ищут в ГДЗ по геометрии 10 класс. Точная формулировка здесь подтверждает: прямоугольник с сторонами $a$ и $b$, вращение вокруг разных сторон.

ГДЗ по геометрии 10 класс Атанасян №546

В учебнике Атанасян геометрия 10 класс углублённый уровень такие задачи учат понимать свойства тел вращения. Формулы базовые: боковая поверхность цилиндра $S_b = 2\pi r h$, полный объём $V = \pi r^2 h$. Почему они работают? Развёртка боковой поверхности — всегда прямоугольник с шириной $2\pi r$ (длина окружности) и высотой $h$.

Для первого цилиндра (вращение вокруг А): $r_1 = b$, $h_1 = a$. Итог: $S_{b1} = 2\pi b a$. Ко второму (вокруг Б): $r_2 = a$, $h_2 = b$. Смотрите: $S_{b2} = 2\pi a b$. Равно! ГДЗ по геометрии 10 класс Атанасян даёт именно это: отношение $1:1$.

Объёмы посложнее. $V_1 = \pi b^2 a$, $V_2 = \pi a^2 b$. Отношение $V_1 / V_2 = (b^2 a) / (a^2 b) = b / a$. Короче, $b : a$. Подробное ГДЗ на 5terka разбирает шаг за шагом, без воды.

Рисунок: прямоугольник и цилиндры

Рисунок — ключ в стереометрии 10 класс. Вот схема прямоугольника ABCD (A внизу слева, B справа, C сверху справа, D слева):

 D ----- C
 | |
 | | b (сторона Б = BC)
a | |
(ось А=AB)| 
 A ----- B

Вращение вокруг AB (ось А, горизонтальная): точки C и D рисуют окружность радиусом $b$. Получается цилиндр:

 /|\
 / \
 | | высота a
 | |
 \ /
 \|/

Вокруг BC (вертикальная ось Б): радиус $a$, высота $b$. Цилиндр покороче, но толще.

Визуал помогает? Видео-разбор на Rutube показывает 3D-анимацию для №546 — идеально для геометрии 10 класс с решением. А в lc.rt.ru для 10 класса есть готовая таблица: $S_1:S_2=1:1$, $V_1:V_2=b:a$.

Боковая поверхность цилиндра: расчёт и равенство

Почему поверхности равны? Развёртка! Для любого цилиндра боковик — прямоугольник $2\pi r \times h$. У нас исходный прямоугольник $a \times b$. При вращении вокруг А развёртка первого — $2\pi b \times a$. Вокруг Б — $2\pi a \times b$. Площадь та же: $2\pi a b$.

Докажем математически. Пусть $S_1 = 2\pi r_1 h_1 = 2\pi b a$, $S_2 = 2\pi r_2 h_2 = 2\pi a b$. Очевидно, $S_1 = S_2$. Отношение $1:1$. Даже полные поверхности? Нет, задача про боковые — основания разные.

Пример: $a=3$, $b=4$, $\pi \approx 3.14$. $S_1 = 2 \times 3.14 \times 4 \times 3 = 150.72$. $S_2 = 2 \times 3.14 \times 3 \times 4 = 150.72$. Совпадает! Задачи по стереометрии 10 класс часто такие — проверяют интуицию.

В решении на lc.rt.ru подчёркивают: развёртки идентичны исходному прямоугольнику по площади.

Объём цилиндра: отношение для двух случаев

Объём — площадь основания times высота. Основание — круг $\pi r^2$. Для первого: $V_1 = \pi b^2 \cdot a$. Второй: $V_2 = \pi a^2 \cdot b$.

Отношение $V_1 : V_2 = \pi b^2 a : \pi a^2 b = b^2 a / (a^2 b) = b / a$. Простая алгебра! Если $b > a$, первый объём больше. В примере $a=3$, $b=4$: $V_1 = 3.14 \times 16 \times 3 \approx 150.72$, $V_2 = 3.14 \times 9 \times 4 \approx 113.04$. Соотношение $150.72 : 113.04 \approx 4:3 = b:a$.

В геометрии 10 класс мерзляк или Атанасян это выводят из аксиом стереометрии. Никаких сюрпризов. А если конус или шар? Там сложнее, но для цилиндров — чистая механика.

Источники

1. Решение задачи о телах вращения — Полный расчёт поверхностей и объёмов цилиндров: https://lc.rt.ru/classbook/matematika-11-klass/tela-vrascheniya-profilnyi-uroven/5976
2. Векторы и тела вращения 10 класс — Постановка задачи и таблица отношений: https://lc.rt.ru/classbook/matematika-10-klass/vektory-i-tela-vrascheniya-profilnyi-uroven/5958
3. ГДЗ Атанасян геометрия №546 — Шаговое решение для 10 класса: https://5terka.com/node/7581
4. Erricon.ru задание 2280 — Точная формулировка с прямоугольником ABCD: http://erricon.ru/zadanie-2280
5. Видео-разбор Атанасян №546 — Визуализация вращения и цилиндров: https://rutube.ru/video/904243fc11e504135f2557b965cb0107/

Заключение

В геометрии 10 класс отношение боковых поверхностей двух цилиндров от вращения прямоугольника — строго $1:1$, а объёмов — $b:a$. Запомните: поверхности зависят от произведения $r h$, объёмы — от квадрата радиуса. Это база стереометрии, помогает в ГДЗ по геометрии 10 класс Атанасян. Попробуйте сами с числами — и всё встанет на места. Вопросы? Решайте дальше!