Образование

Зеркальное отражение плоскости: λ=1 и вектор (α,1,11)

Доказательство, что λ=1 — собственное значение оператора зеркального отражения относительно плоскости x+13y+45z=0. Нахождение α=-508 для вектора (α,1,11). Формула Хаусхолдера, матрица отражения и свойства.

1 ответ• 1 просмотр

Дан линейный оператор зеркального отражения относительно плоскости x + 13y + 45z = 0. Докажите, что λ = 1 является собственным значением этого оператора, и найдите соответствующий собственный вектор вида (α, 1, 11). Какое значение α?

Линейный оператор зеркального отражения относительно плоскости ( x + 13y + 45z = 0 ) в ( \mathbb{R}^3 ) действительно имеет ( \lambda = 1 ) как собственное значение — все векторы, лежащие в этой плоскости, остаются неизменными после отражения. Чтобы найти собственный вектор вида ( (\alpha, 1, 11) ), подставляем его в уравнение плоскости: ( \alpha + 13 \cdot 1 + 45 \cdot 11 = 0 ), откуда ( \alpha + 508 = 0 ), то есть ( \alpha = -508 ). Это прямое следствие свойства оператора отражения: он фиксирует плоскость точка в точку.

Содержание

Что такое зеркальное отражение относительно плоскости

Зеркальное отражение относительно плоскости — это геометрическая трансформация, которая оставляет точки плоскости на месте, а точки по другую сторону “отражает” симметрично. В линейной алгебре это линейный оператор ( R: \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}^3 ), ортогональный с определителем ( \det R = -1 ). Почему именно так? Представьте зеркало: ваше отражение в нём выглядит как вы, но лево-право поменялось местами — вот и суть.

Для плоскости ( x + 13y + 45z = 0 ) нормальный вектор ( \mathbf{n} = (1, 13, 45) ). Оператор отражения относительно плоскости строится по формуле Хаусхолдера:

R(v)=v−2n⋅v∥n∥2nR(\mathbf{v}) = \mathbf{v} - 2 \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{n}\|^2} \mathbf{n}

Здесь ( |\mathbf{n}|^2 = 1^2 + 13^2 + 45^2 = 1 + 169 + 2025 = 2195 ). Это стандартный способ выражения зеркального отражения в координатах, как описано в Wikipedia о математическом отражении. А теперь вопрос: как это связано с собственными значениями? Давайте разберёмся.

Собственные значения оператора отражения

Оператор зеркального отражения всегда имеет спектр {1, 1, -1} в ( \mathbb{R}^3 ). Почему двойная единица? Потому что кратность ( \lambda = 1 ) равна размерности плоскости отражения (2), а ( \lambda = -1 ) — для направления нормали (1). Это фундаментальное свойство: ( R^2 = I ), следовательно, ( R^2 - I = 0 ), минимальный многочлен делит ( (t-1)^2 (t+1) ).

В общем случае для отражения относительно гиперплоскости в ( \mathbb{R}^n ) собственные значения — 1 с кратностью ( n-1 ) и -1 с кратностью 1. Подтверждение в обсуждении на Math Stack Exchange: поскольку ( R ) ортогонален и ( R^2 = I ), то ( \lambda^2 = 1 ), откуда ( \lambda = \pm 1 ). А геометрия диктует кратности. Интересно, правда? Без этого понимания матрица отражения кажется просто набором коэффициентов.

Доказательство λ=1 как собственного значения

Докажем строго, что ( \lambda = 1 ) — собственное значение оператора зеркального отражения относительно плоскости ( \Pi: x + 13y + 45z = 0 ).

Пусть ( \mathbf{v} \in \Pi ), то есть ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 0 ). Тогда по формуле:

R(v)=v−2n⋅v2195n=v−2⋅0⋅n=vR(\mathbf{v}) = \mathbf{v} - 2 \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{v}}{2195} \mathbf{n} = \mathbf{v} - 2 \cdot 0 \cdot \mathbf{n} = \mathbf{v}

Значит, ( R(\mathbf{v}) = 1 \cdot \mathbf{v} ) для любого ( \mathbf{v} ) в плоскости. Собственное пространство для ( \lambda = 1 ) — вся плоскость ( \Pi ), размерностью 2. Для нормали: ( R(\mathbf{n}) = \mathbf{n} - 2 \frac{\mathbf{n} \cdot \mathbf{n}}{2195} \mathbf{n} = \mathbf{n} - 2 \mathbf{n} = -\mathbf{n} ), так что ( \lambda = -1 ).

Это доказательство универсально для любого отражения плоскости и опирается на определение проекции. Как показано в анализе собственных векторов отражения, фиксация плоскости гарантирует ( \lambda = 1 ). Никаких сюрпризов — чистая геометрия.

Нахождение собственного вектора вида (α, 1, 11)

Теперь конкретно для вектора ( \mathbf{v} = (\alpha, 1, 11) ). Чтобы он был собственным с ( \lambda = 1 ), должен лежать в плоскости ( \Pi ):

1⋅α+13⋅1+45⋅11=0  ⟹  α+13+495=0  ⟹  α+508=0  ⟹  α=−5081 \cdot \alpha + 13 \cdot 1 + 45 \cdot 11 = 0 \implies \alpha + 13 + 495 = 0 \implies \alpha + 508 = 0 \implies \alpha = -508

Проверим: ( \mathbf{v} = (-508, 1, 11) ), скалярное произведение ( \mathbf{n} \cdot \mathbf{v} = 1 \cdot (-508) + 13 \cdot 1 + 45 \cdot 11 = -508 + 13 + 495 = 0 ). Идеально! Тогда ( R(\mathbf{v}) = \mathbf{v} ), как положено.

Это прямой расчёт из условия принадлежности плоскости. Точный пример для нашей задачи приведён в решении на Math Stack Exchange — там же и подтверждение ( \alpha = -508 ). А если хотите увидеть полную матрицу, то дальше.

Матрица зеркального отражения и дополнительные свойства

Матрица оператора отражения — это ( R = I - 2 \frac{\mathbf{n} \mathbf{n}^T}{|\mathbf{n}|^2} ). Вычислим:

( \mathbf{n} \mathbf{n}^T = \begin{pmatrix} 1 \ 13 \ 45 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 13 & 45 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 & 13 & 45 \ 13 & 169 & 585 \ 45 & 585 & 2025 \end{pmatrix} )

Тогда ( \frac{2 \mathbf{n} \mathbf{n}^T}{2195} ) — поправка, и ( R = I - ) эта матрица. Но зачем считать вручную, если свойства ясны: ортогональность ( R^T R = I ), ( \det R = -1 ), trace ( R = 1 ) (сумма собственных значений).

В контексте физики зеркальное отражение света от плоскости подчиняется тому же закону — угол падения равен углу отражения. А в задачах вроде построения зеркального отражения на чертеже это базис. Подробнее о Хаусхолдере в описании трансформаций — идеально для численных методов.

Источники

  1. Eigenvalues and eigenvectors of plane reflection operator — Точное решение для плоскости x+13y+45z=0 с α=-508: https://math.stackexchange.com/questions/784161/eigenvalues-and-eigenvectors-of-plane-reflection-operator
  2. Eigenvalues of reflection — Доказательство спектра {1, 1, -1} и R²=I: https://math.stackexchange.com/questions/1511240/eigenvalues-of-reflection
  3. Reflection (mathematics) — Определение отражения, матрица, свойства: https://en.wikipedia.org/wiki/Reflection_(mathematics)
  4. Eigenvalues and eigenvectors of a reflection about a plane — Собственные векторы в плоскости и нормали: https://math.stackexchange.com/questions/2215701/eigenvalues-and-eigenvectors-of-a-reflection-about-a-plane
  5. Householder transformation — Формула матрицы отражения R = I - 2nnᵀ/||n||²: https://en.wikipedia.org/wiki/Householder_transformation

Заключение

Итак, мы доказали, что для оператора зеркального отражения относительно плоскости ( x + 13y + 45z = 0 ) значение ( \lambda = 1 ) действительно собственное с пространством — вся плоскость, а вектор ( (-508, 1, 11) ) — один из них. Это не просто расчёт, но понимание сути: отражение фиксирует “зеркало”. Если копать глубже, загляните в матрицу или примеры из физики — там полно аналогий.

Авторы
НейроОтветы
Автор
Проверено модерацией
НейроОтветы
Модерация
Зеркальное отражение плоскости: λ=1 и вектор (α,1,11)