Точка равноудалена от сторон треугольника: катеты 9 и 12 см
В прямоугольном треугольнике с катетами 9 см и 12 см точка M равноудалена от всех сторон на 5 см. Расстояние до плоскости — 4 см. Расчет через инцентр, радиус вписанной окружности r=3 см и теорему Пифагора.
В прямоугольном треугольнике ABC с катетами 9 см и 12 см точка M равноудалена от всех сторон на 5 см. Найдите расстояние от точки M до плоскости треугольника ABC.
Расстояние от точки M, равноудаленной от всех сторон прямоугольного треугольника ABC с катетами 9 см и 12 см на 5 см, до плоскости треугольника равно 4 см. Проекция M на плоскость — инцентр, центр вписанной окружности с радиусом 3 см, а расстояние 5 см образует гипотенузу правого треугольника с катетами r и h. По теореме Пифагора: h = √(5² - 3²) = 4 см.
Содержание
- Геометрическое значение точки равноудаленной от сторон
- Инцентр и вписанная окружность в треугольнике
- Расчет гипотенузы для катетов 9 и 12 см
- Формула радиуса вписанной окружности
- Расстояние от точки M до плоскости треугольника
- Источники
- Заключение
Геометрическое значение точки равноудаленной от сторон
Представьте: точка M в пространстве, и от неё до каждой стороны треугольника ABC ровно 5 см. Что это значит? Её ортогональная проекция P на плоскость ABC должна быть равноудалена от всех трёх сторон в этой плоскости. А такая точка — это инцентр треугольника, центр вписанной окружности.
Почему именно инцентр? Потому что расстояния от него до сторон равны радиусу r этой окружности. Для точки M расстояние до стороны — это гипотенуза треугольника с катетами r (в плоскости) и h (перпендикуляр до плоскости). Если все такие гипотенузы равны 5 см, то P неизбежно инцентр. Просто и элегантно, правда?
В нашем случае треугольник прямоугольный с катетами 9 см и 12 см. Гипотенуза? Давайте посчитаем позже, но суть ясна: задача сводится к поиску r и затем h.
Инцентр и вписанная окружность в треугольнике
Инцентр — точка пересечения биссектрис, равноудалённая от сторон на r. Для любого треугольника r = S / s, где S — площадь, s — полупериметр. Здесь подробно о свойствах инцентра.
В прямоугольном треугольнике формула упрощается: r = (a + b - c)/2, где a, b — катеты, c — гипотенуза. Это работает идеально для нашей задачи. Точка M “висит” над инцентром перпендикулярно плоскости, и расстояние 5 см распределяется между r и h.
А если точка в плоскости? Тогда она просто на вписанной окружности, но здесь M вне плоскости — расстояние больше r.
Расчет гипотенузы для катетов 9 и 12 см
Сначала найдём гипотенузу. Прямоугольный треугольник ABC, катеты AB = 9 см, AC = 12 см. По Пифагору: BC = √(9² + 12²) = √(81 + 144) = √225 = 15 см. Классика 3-4-5, умноженная на 3.
Теперь полупериметр s = (9 + 12 + 15)/2 = 18 см. Площадь S = (9 × 12)/2 = 54 см². Проверим r = S / s = 54 / 18 = 3 см. Совпадает с упрощённой формулой: (9 + 12 - 15)/2 = 3 см.
Точное решение для таких катетов подтверждает: гипотенуза 15 см, r = 3 см.
Формула радиуса вписанной окружности
Радиус r вписанной окружности — ключ к задаче. Для общего треугольника r = (a + b - c)/2 в прямоугольном случае — да, это стандарт. Или через площадь и полупериметр, как выше.
Почему это работает? Инцентр делит треугольник на три маленьких с высотой r. Для катетов 9 и 12 всё сходится на r = 3 см. Подробный разбор проекции в инцентр показывает: dist(P, side) = r для всех сторон.
Без r задача не решается. А теперь представьте: M на высоте h над инцентром.
Расстояние от точки M до плоскости треугольника
Вот и кульминация. Пусть h — расстояние от M до плоскости (перпендикуляр). Для любой стороны: расстояние от M до стороны = √(h² + r²) = 5 см.
Подставляем r = 3: h² + 9 = 25, h² = 16, h = 4 см (положительное, конечно).
Проверим логику. Проекция P — инцентр, расстояние от P до стороны всегда r = 3 см. Перпендикуляр из M в P, затем в сторону — прямой угол. Пифагор рулит.
Аналогичное решение на Mail.ru: MO = 4 см, где O — инцентр. И здесь то же: h = √(25 - 9) = 4 см.
Никаких сложностей. Просто геометрия в действии.
Источники
- Ответы: ПОМОГИТЕ, ПОЖАЛУЙСТА — Решение задачи с r=3 см и h=4 см для катетов 9/12: https://online-otvet.ru/geometria/5cea8c6c96f4e19a292e21c4
- Точка М равноудалена от всех сторон — Метод проекции в инцентр и расчёт h=4 см: https://class.rambler.ru/temy-gdz/2-tochka-m-ravnoudalena-от-vseh-storon-pravilnogo-treugolnika-avs-geometriya-ziv-b-g-10-klass-kontrolnye-raboty-3-variant-3-56264.htm
- Найти расстояние от точки до плоскости треугольника — Формула r и Пифагор для данной задачи: https://otvet.mail.ru/question/36521075
- Точка пространства равноудалена от сторон треугольника — Теория проекции в инцентр и расчёт: https://geometria.my-dict.ru/q/3902821_tocka-prostranstva-ravnoudalena-от-storon-treugolnika/
- Точка пересечения биссектрис треугольника — Свойства инцентра как равноудалённой точки: http://tmath.ru/1/2/9/2/page.php
Заключение
Расстояние от точки M, равноудаленной от сторон треугольника с катетами 9 см и 12 см на 5 см, до плоскости — ровно 4 см. Всё строится на инценторе с r=3 см и Пифагоровой теореме. Такая задача учит видеть проекции и свойства вписанной окружности — базовый инструмент геометрии. Если решать подобные, всегда начинайте с r!