Перпендикуляр и наклонные к плоскости: решение задач

В стереометрии перпендикуляр из точки к плоскости — это кратчайший путь, всегда короче любой наклонной прямой. Для решения задач по перпендикуляру и наклонным к плоскости используем теорему Пифагора: в прямоугольном треугольнике, образованном перпендикуляром (h), проекцией наклонной (d) и самой наклонной (b), выполняется $b^2 = h^2 + d^2$. Краткие ответы: Задача 1 — $\sqrt{95}$ см; Задача 2 — MF = 12 см, MK = 13 см; Задача 3 — MK = 12 см, MC = $12\sqrt{3}$ см; Задача 4 — 15 см и 13 см.

Содержание

• Перпендикуляр и наклонные к плоскости: определения и свойства
• Теорема Пифагора и ключевые формулы
• Решение Задачи 1
• Решение Задачи 2
• Решение Задачи 3
• Решение Задачи 4
• Источники
• Заключение

Перпендикуляр и наклонные к плоскости: определения и свойства

Представьте плоскость α и точку M вне её. Перпендикуляр — это линия MF, где F лежит в α и MF ⊥ α. Наклонная — любая другая линия из M, пересекающая α в N, но не перпендикулярная. Проекция наклонной — отрезок FN в плоскости.

Почему перпендикуляр короче всего? Потому что угол между ним и плоскостью — 90°, а для наклонной — меньше. В Foxford чётко сказано: среди всех линий из M в α перпендикуляр минимален. Равные наклонные имеют равные проекции, и наоборот.

Чертеж простой: плоскость как горизонтальная линия, M выше, MF вниз вертикально, MN под углом. Треугольник MFN прямоугольный в F: MF ⊥ FN.

А свойства? Наклонная с большим углом к плоскости длиннее при той же проекции. Угол между наклонной и плоскостью — это угол между MN и её проекцией FN. Вычисляется как $\sin \alpha = h / b$, где α — угол наклона.

Интересно, правда? Без этого не обойтись в задачах.

Теорема Пифагора и ключевые формулы

Всё строится на Пифагоре. Для любой наклонной: $MN^2 = MF^2 + FN^2$. Перпендикуляр h = MF находится как $h = \sqrt{MN^2 - FN^2}$.

Если известны углы, подключаем тригонометрию. В Multiurok показывают: $\sin \alpha = h / b$, $\cos \alpha = d / b$, где α — угол наклонной к плоскости.

Для сравнения наклонных: если проекции разные, но h одно, длиннее та, у которой проекция больше. Разность длин связана с разностью проекций: $b_1^2 - b_2^2 = d_1^2 - d_2^2$.

А в задачах с углами 30°-60° вспоминаем стандартные треугольники: стороны 1 : $\sqrt{3}$ : 2.

Эти формулы решают 90% подобных задач. Давайте применим на практике.

Решение Задачи 1

Из точки M к плоскости α — перпендикуляр MF и наклонная MN = 12 см. Проекция наклонной NF = 7 см. Найти MF = h.

Чертеж (ASCII для ясности):

 M
 /|
 / | h = MF
 / | 
 /___|___ α
N F NF=7 см
 MN=12

Треугольник MFN: угол в F = 90°, MN гипотенуза = 12, NF катет = 7. По Пифагору:

h = MF = \sqrt{MN^2 - NF^2} = \sqrt{12^2 - 7^2} = \sqrt{144 - 49} = \sqrt{95} \approx 9.75$$ см. Проверка: 95 + 49 = 144, да. Перпендикуляр короче — логично, 9.75 < 12. В [Foxford](https://foxford.ru/wiki/matematika/perpendikulyar-i-naklonnye-k-ploskosti) точно такой же пример. Готово! --- ## Решение Задачи 2 {#zadacha2} Из M: наклонные MN = 20 см, MK; перпендикуляр MF. NF = 16 см, KF = 5 см. Найти MF и MK. Чертеж: ``` M /|\ / | \ MK / | \ /___|___\ α N F K NF=16 KF=5 ``` Сначала по MN: $MF^2 + NF^2 = MN^2$ → $MF^2 + 256 = 400$ → $MF^2 = 144$ → $MF = 12$ см. Теперь MK: в треугольнике MFK, угол F=90°, KF=5, MF=12 → $MK = \sqrt{12^2 + 5^2} = \sqrt{144 + 25} = \sqrt{169} = 13$ см. Просто два Пифагора. MN=20 длиннее MK=13, проекция 16>5 — всё сходится, как в [Math100](https://math100.ru/geometria10-11_3_2/). Что если точки N и K по разные стороны F? Не меняет, расстояния положительны. --- ## Решение Задачи 3 {#zadacha3} Из M: наклонные MK, MC; перпендикуляр MD. KD=6 см, ∠MCD=30°, ∠MKD=60°. Найти MK, MC. Чертеж (D — основание перпендикуляра): ``` M /|\ / | \ MC / | \ /___|___\ α K D C KD=6 CD=? ``` Треугольники MDK и MDC прямоугольные в D. Для MKD: ∠MKD=60° (угол при K? Нет, ∠MKD — между MK и KD, т.е. угол наклонной к плоскости? Стандартно ∠MKD — в треугольнике MKD при K. В [Foxford](https://foxford.ru/wiki/matematika/perpendikulyar-i-naklonnye-k-ploskosti): угол MKD=60° — это угол при D? Подождите, обычно угол наклонной — между MN и FN, но здесь ∠MKD=60° — угол в плоскости MKD при K? Фактически: в прямоугольном треугольнике MDK (∠D=90°), ∠MKD=60° — значит ∠KMD=30°. KD напротив 30°? Нет. Треугольник MDK: гипотенуза MK, катеты MD=h, KD=6. Угол при K — ∠MKD=60°, т.е. напротив катета MD (sin60°=h/MK, cos60°=KD/MK). Да: $\cos 60^\circ = \frac{KD}{MK} = \frac{6}{MK}$ → $\frac{1}{2} = \frac{6}{MK}$ → $MK = 12$ см. Тогда $h = MD = MK \sin 60^\circ = 12 \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 6\sqrt{3}$ см. Теперь MC: ∠MCD=30° — аналогично, в треугольнике MDC угол при C=30°. $\cos 30^\circ = \frac{CD}{MC} = \frac{\sqrt{3}}{2}$? Нет: угол MCD при C — между MC и CD. Так что $\cos 30^\circ = \frac{CD}{MC}$, но нам CD неизвестно. Лучше: $\sin 30^\circ = \frac{h}{MC} = \frac{6\sqrt{3}}{MC}$ → $\frac{1}{2} = \frac{6\sqrt{3}}{MC}$ → $MC = 12\sqrt{3}$ см. Да! Проверяем: для MK=12, KD=6=12*cos60°=12*0.5=6. Для MC=12√3≈20.78, sin30°=h/MC → h=20.78*0.5≈10.39, а 6√3≈10.39 — точно. Круто, углы дали прямой расчёт через sin. --- ## Решение Задачи 4 {#zadacha4} Из точки M две наклонные MP= a, MQ= b, проекции p=9 см, q=5 см. |a - b|=2 см. Найти a, b. h общее: $a^2 = h^2 + 9^2$, $b^2 = h^2 + 5^2$. Вычтем: $a^2 - b^2 = 81 - 25 = 56$. $(a - b)(a + b) = 56$. Пусть a > b, a - b = 2 → 2(a + b) = 56 → a + b = 28. Система: a - b = 2, a + b = 28 → a=15, b=13 см. Проверка: h^2 = 15^2 - 81 = 225-81=144; 13^2 -25=169-25=144. Идеально. Чертеж: M, D (для h), P и Q в плоскости, DP=9, DQ=5. В [Yaklass](https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-v-prostranstve-10441/opredelenie-perpendikuliara-naklonnoi-teorema-o-trekh-perpendikuliarakh-9254/re-d72d98cf-183b-4dc5-87dc-15998590c857) похожий метод. Разность проекций дала разность квадратов — классика. --- ## Источники {#sources} 1. **Foxford: Перпендикуляр и наклонные к плоскости** — Полные определения, свойства и решения всех задач: https://foxford.ru/wiki/matematika/perpendikulyar-i-naklonnye-k-ploskosti 2. **Math100: Геометрия 10-11 класс** — Свойства сравнения наклонных и примеры с Пифагором: https://math100.ru/geometria10-11_3_2/ 3. **Multiurok: Перпендикуляр и наклонная** — Формулы углов и тригонометрия для задач 3: https://multiurok.ru/files/perpendikuliar-i-naklonnaia-k-ploskosti.html 4. **Yaklass: Угол между наклонной и плоскостью** — Методы для задач с разностями проекций: https://www.yaklass.ru/p/geometria/10-klass/perpendikuliarnost-v-prostranstve-10441/opredelenie-perpendikuliara-naklonnoi-teorema-o-trekh-perpendikuliarakh-9254/re-d72d98cf-183b-4dc5-87dc-15998590c857 5. **Resh.edu.ru: Конспект по стереометрии** — Базовые свойства перпендикуляра: https://resh.edu.ru/subject/lesson/6127/conspect/ --- ## Заключение {#conclusion} Решая задачи по перпендикуляру и наклонным к плоскости, всегда рисуйте чертеж с прямоугольными треугольниками — это упростит Пифагор и sin/cos. Главное свойство: перпендикуляр короче, проекции определяют длины. Практикуйтесь на вариантах, и стереометрия покажется лёгкой. Если вопросы — спрашивайте!